Побудова асимптотичного солітоноподібного розв’язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі спеціально заданими коефіцієнтами

Анотація

Рівняння Кортевега-де Фріза є одним з важливих об’єктів дослідження сучасної теоретичної фізики і прикладної математики. Це рівняння описує хвильові процеси в середовищах з нелінійної дисперсією і стало широко відомим у середині минулого століття завдяки наявності у нього так званих солітонних розв’язків, що мають властивість нелінійної суперпозиції. За допомогою різних аналітичних і якісних методів (метод оберненої задачі теорії розсіювання, метод Хіроти, методи Беклунд перетворення і Дарбу перетворення, метод скінченнозонного інтегрування, методи групового аналізу та інші) для рівняння Кортевега-де Фріза вивчено широкий клас задач і встановлено існування для нього розв’язків різної фізичної природи, зокрема, солітонних, періодичних і майже періодичних, розв’язків типу ударної хвилі (типу сходинки), тощо. У випадку середовищ зі змінними характеристиками і малою дисперсією в якості математичних моделей певних процесів і явищ виникає рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами та сингулярним збуренням.

При вивченні рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами та малим параметром ефективним методом його дослідження є асимптотичний аналіз, який дозволяє знайти його наближені розв’язки та проаналізувати їх якісні властивості.

Однією з актуальних задач сучасної прикладної математики є вивчення рівнянь інтегровного типу з сингулярним збуренням, зокрема, задача про побудову асимптотичних розв’язків, які за своєю структурою і властивостями є близькими до солітонних розв’язків. Саме побудові таких асимптотичних розв’язків для рівняння Кортевега-де Фріза із сингулярним збуренням і змінними коефіцієнтами спеціального вигляду і присвячено дану статтю, у якій для цього рівняння побудовано головний доданок його асимптотичного солітоноподібного розв’язку. Показано, що отриманий асимптотичний розв’язок належить простору швидко спадних функцій і, на відміну від загального випадку, він визначений для всіх значень незалежних змінних. Доведено твердження про точність, з якою побудований асимптотичний розв’язок задовольняє досліджуване рівняння.