Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці

Анотація

Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвивається в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення таких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідовності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею Λ. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визначає конкретний метод підсумовування рядів Фур’є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда.

Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 році. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-дифе­рен­ційовних функцій для дробових r.

Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теляковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін.

У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функ­цій в інтегральній метриці.

Нехай N — деякий клас сумовних 2π-періодичних функцій. Тоді, якщо для f(x) існує (ψ; β)-похідна (в розумінні Степанця) і ця похідна належить класу N, то такі функції f(x) об’єднують в окремий клас L(ψ; β)N, що характеризується (ψ; β) диференціальними властивостями самої функції і умовами, накладеними на її (ψ; β) похідну.

У статті класи L(ψ; β)N складаються з функцій, ряди Фур’є яких збігаються до нескінченно-диференційовних функцій, а їх (ψ; β)-похідні в інтегральній метриці належать одиничній кулі.

Основним результатом роботи є наступне твердження.

Теорема. Якщо дана функція f(t, n, r) — рівномірно обмежена, а функції f(x) належать згаданому класу L(ψ; β)N, то для довільних n Î N, для верхніх граней відхилень сум Зігмунда від функцій з класу L(ψ; β)N справедливі точні порядкові оцінки, де порядок визначається степенем — r методу Зігмунда.

Із допоміжних тверджень доводиться 2 леми і для того, щоб показати непокращуваність порядкової оцінки будується екстремальна функція g(x) Î L(ψ; β)N.