Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
DOI:
https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-17.74-89Анотація
Cучасні наукові дослідження в самих різноманітних галузях науки неможливі без побудови математичних моделей фізичних, хімічних, біологічних та ін. процесів та явищ, що вивчаються. Одним з видів математичних моделей є диференціальні рівняння та їх системи. Серед диференціальних рівнянь для опису процесів проходження рідини з домішками через багатошарові фільтри, процесів забруднення атмосферного повітря вихлопними газами використовуються системи рівнянь конвекції-дифузії. До цього часу актуальною залишається розробка нових методів знаходження точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Одним з таких методів є метод С. Лі. Дана робота присвячена пошуку засобів узагальнення методу С. Лі для знаходження нових класів точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.
У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна системі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи та системи-образу, пов’язаної з нею нелокальними перетвореннями, досліджено їх симетрійні властивості. Для знайденої системи-образу в роботі побудовані нееквівалентні ліївські анзаци. Подіявши на ліївські анзаци системи-образу нелокальними перетвореннями, одержані нелокальні анзаци системи конвекції-дифузії з хемотаксисною матрицею дифузії. Подіявши нелокальними анзацами на дану систему, знайдені редуковані рівняння, розв’язавши які, можна одержати точні розв’язки даної системи. Знайдені нелокальні анзаци не можна отримати в рамках класичного методу С. Лі., але вони дозволяють побудувати нові, неліївські розв’язки даної системи диференціальних рівнянь. Зокрема, в статті, розв’язавши одну з редукованих систем, в якості прикладу застосування нелокальних анзаців, побудовано розв’язок системи конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею.
Посилання
Иваницкий Г. Р. От беспорядка к упорядоченности — на примере движения микроорганизмов / Г. Р. Иваницкий, А. Б. Медвинский, М. А. Цыганов // Успехи физических наук. — 1991. — Т. 161, № 4. — C. 13–71.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400c.
Омелян O. M. Редукція та розв'язки систем нелінійних рівнянь дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея / O. M. Омелян // Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Сер.: «Математика. Механіка». — 2004. — № 11–12. — С. 95–100.
Сєров М. І. Лінеаризація систем нелінійних рівнянь дифузії за допомогою нелокальних перетворень / М. І. Сєров, O. M. Омелян, Р. М. Черніга // Доп. НАН України. — 2004. — № 10. — С. 39–45.
Сєров М. І. Симетрійні властивості системи нелінійних рівнянь хемотаксису / М. І. Сєров, О. М. Омелян. — Полтава : ПолтНТУ, 2012. — 238 c.
Сівак В. Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78–91.
Фущич В. И. О нелокальных анзацах одного нелинейного одномерного уравнения теплопроводности / В. И. Фущич, Н. И. Серов, Т. К. Амеров // Доклады Академии наук Украины. — 1992. — № 1. — С. 26–30.
Фущич В. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики / В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Серов. — К. : Наук. думка, 1989. — 335 с.
Чапля Є. Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха, В. Дмитрук // Доповіді НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46–51.
Чернуха О. Математичні моделі стаціонарних процесів конвективної дифузії в регулярних структурах. Задачі термодифузії та методи їх розв’язку : колект. моногр. / О. Чернуха, В. Гончарук, В. Дмитрук ; під ред. д. т. н. В. П. Ляшенка. — Кременчук : Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, 2012. — C. 91–109.
Adler J. Chemotaxis in bacteria / J. Adler // Sciense. — 1996. — Vol. 153. — P. 708–716.
Fushchich W. I. On nonlocal symmetries of the nonlinear heat equation / W. I. Fushchich, N. I. Serov, V. A. Tychynin, T. K. Amerov // Proc. Acad. of Sci. Ukraine. — 1992. — №11. — P. 27–33.
Keller E. F. Model for chemotaxis / E. F. Keller, L.A. Segel // J. Theor. Biol. — 1971. — Vol. 30. — P. 225–234.
Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations / P. Olver. — New York : Springer, 1986. — 497 p.
Tychynin V. A. Symmetries and Generation of Solutions for Partial Differential Equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova, O. M. Tertyshnyk // Symmetry, In-tegrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA) — 2007. —Vol. 3. —14 p. — URL: http://arxiv.org/abs/math-ph/0702033
Tychynin V. A. Nonlocal symmetries and formulae for generation of solutions for a class of diffusion-convection equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova // J. Math. Anal. Appl. — 2011. — № 382. — P. 20–33.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Authors who publish with this journal agree to the following terms:- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
