Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці

Анотація

Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю. Спочатку розглянуто рівняння типу Шредінгера з більш загальною нелінійністю, яка має такі ж властивості, як і насичувана нелінійність. Для таких рівнянь одержано результат про існування розв’язків у вигляді стоячих хвиль з періодичною амплітудою (зауважимо, що такі розв’язки часто називають бризерами). Для цього дане рівняння подано в операторному вигляді в просторі двохсторонніх послідовностей. Припущено, що коефіцієнти відповідного лінійного оператора утворюють k-періодичні послідовності. Цей оператор є обмеженим і самоспряженим у просторі всіх k-періодичних послідовностей. Потім побудовано спеціальний функціонал, критичні точки якого в цьому просторі є розв’язками вихідного рівняння. Знайдено похідну Гато цього функціоналу. Далі розглянуто многовид Нехарі для заданої варіаційної задачі, який представляє собою множину нетривіальних критичних точок побудованого функціоналу в просторі k-періодичних послідовностей. Показано, що цей многовид Нехарі непорожній і замкнений підмноговид даного простору. Крім того, розглянуто відповідну задачу мінімізації і показано, що на розглянутому многовиді Нехарі ця задача за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рівняння має нетривіальні періодичні розв’язки. І остаточно, в силу того, що насичувана нелінійність задовольняє вказані умови, в статті встановлено існування двох нетривіальних стоячих хвиль з k-періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержані в статті результати є поширенням вже відомих результатів для дискретних нелінійних рівнянь типу Шредінгера на одновимірних та двовимірних ґратках.