Колокаційно-ітеративний метод розв’язування інтегро-функціональних рівнянь з обмеженнями

Анотація

Інтегро-функціональні рівняння мають широке застосування в різних областях науки та природознавства (зокрема, до таких рівнянь з відхиленням аргументу як нейтрального типу так і з запізненням).

У деяких випадках про розв’язки цих рівнянь буває відома додаткова інформація. Тому важливим є не тільки питання побудови розв’язку такого рівняння, а й встановлення умов сумісності відповідної задачі, тобто потрібно вияснити, чи узгоджується шуканий розв’язок задачі з додатковими умовами.

Встановленню умов сумісності задач такого типу стосовно різних видів операторних рівнянь та розробці методів побудови їх розв’язків присвячено низку наукових праць [1–4].

У статті розглядається один тип інтегро-функціонального рівняння з умовою та обмеженнями на шукану функцію, які носять інтегральний характер. Сформульовано умови сумісності вихідної задачі. Стосовно величин, що входять у задану задачу вимагається, що вони задовольняють ряд необхідних умов. Показано, що при виконанні цих умов вихідна задача буде рівносильною деякому інтегральному рівнянню Фредгольма другого роду з цілком неперервним оператором та додатковими умовами на шуканий розв’язок.

Крім основної задачі розглянуто також допоміжну задачу — задачу з керуванням, коли у випадку сумісності вводиться додаткова, корегуючи величина. Сформульовано та обґрунтовано умови сумісності вихідної задачі.

У роботі також приведено та обґрунтовано ітераційний та колокаційно-ітеративний методи побудови наближених роз­в’язків вихідної задачі з обмеженнями. Вказано алгоритм цих методів та достатні умови їх збіжності. При цьому, використовуємо той факт, що вихідна задача при виконанні певних умов є рівносильною інтегральному рівнянню з обмеженнями. Приведені методи побудови наближених розв’язків інтегро-функціонального рівняння з додатковими умовами можна успішно реалізувати на ЕОМ, створивши відповідні програми.