Гладкі розв’язки гіперболічних за Шиловим систем

Анотація

Для широкого класу гіперболічних за Шиловим лінійних систем рівнянь із частинними похідними, який охоплює клас Петровського гіперболічних систем зі сталими коефіцієнтами і містить клас рівнянь Гордінга, розглядається питання знаходження гладких класичних розв’язків, які є стосовно прос­то­­рової змінної фінітними або швидко спадними на нескінченності вектор-функціями. Дослідження проводяться методом перетворення Фур’є у поєднанні з тео­рі­єю просторів типу S i S’ Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. основних і узагальнених функцій. Належ­ні­сть компонент фундаментального розв’язку задачі Коші для таких систем до простору розподілів Дірака, а також, їх згортковість у певних просторорах типу S основ­них фун­к­цій доз­волило тут установити в класичному розумінні коректну розв’язність задачі Ко­ші в кож­­но­му такому просторі Гельфанда і Шилова. Тобто, довести існування, єдиність та неперервну залеж­ні­сть від поча­т­кових даних класичного розв’язку гіперболічної системи у зазначеному просторі типу S, за умови, що його граничне значення на початковій гіперплощині є елементом цього простору. При цьому, роз­в’я­зок прямує до початкової вектор-функції при наближенні часової змінної до нуля у сенсі то­по­ло­гії цього простору. Цей результат, зокрема, дозволяє зробити важливий висновок про те, що ево­лю­ційні процеси з відсутнім зовнішнім впливом, які опису­ю­ться гіперболічними за Шило­вим систе­ма­ми, в рамках просторів типу S з плином часу, спроможні збе­рі­гати ті якісні харак­те­рис­тики сто­сов­но просторової змінної, якими вони во­ло­діли на початковому етапі еволю­ції.