Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Моделювання бізнес-процесів IT-проєктів за допомогою теорії черг

2025-10-07T17:43:31+03:00

Стаття присвячена моделюванню бізнес-процесів IT-проєктів за допомогою теорії черг, де бізнес-процеси трактуються як системи масового обслуговування з випадковими потоками завдань і обмеженими ресурсами. Актуальність дослідження зумовлена зростаючою складністю IT-проєктів, де випадкове надходження завдань, зміни вимог і варіативність часу виконання призводять до черг, перевитрат ресурсів та порушення термінів. В умовах конкуренції та потреби в швидкому виведенні продуктів на ринок, застосування теорії черг стає інструментом для науково обґрунтованого управління, що допомагає мінімізувати затримки, підвищувати продуктивність і забезпечувати стійкість систем. Мета дослідження полягає в розробці математичного апарату на основі теорії масового обслуговування для моделювання бізнес-процесів IT-проєктів, що дозволить оптимізувати розподіл ресурсів, визначити оптимальну кількість виконавців та мінімізувати затримки в реалізації завдань. У дослідженні використано аналітичні методи теорії черг, для розрахунку ключових показників, таких як коефіцієнт завантаження ρ, середня кількість завдань у системі, час очікування та ймовірність втрат. Додатково застосоване імітаційне моделювання з використанням програмних інструментів, як-от Arena, для симуляції динаміки процесів з варіативними розподілами часу обслуговування. Отримані наукові результати демонструють, що моделювання бізнес-процесів
IT-проєктів за допомогою теорії черг дозволяє забезпечити стійкість системи за умови, коли завантаження ресурсів не перевищує критичний рівень. Оптимальна кількість виконавців визначається через оцінку ймовірності очікування, що сприяє зменшенню затримок у черзі та загальному циклі виконання завдань. Аналітичні моделі, такі як одноканальна та багатоканальна системи, виявили ефективність розподілу навантаження між командами, особливо в умовах обмеженої черги, де зменшується ризик втрати завдань. Перспективи подальших досліджень передбачають інтеграцію теорії черг з методами машинного навчання для адаптивного моделювання реальних IT-проєктів, врахування пріоритетних черг та мультиагентних систем

Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому півпросторі з порожниною

2025-12-10T20:04:18+02:00

У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки гіперболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ циліндрично-круговому півпросторі з порожниною.

Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле) і 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле).

Для побудови розв՚язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної φ, інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі (0; +∞) щодо аплікатної змінної z та гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі (R₀; +∞) з n точками спряження щодо радіальної змінної r.

Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними (r, φ, z) дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.

Застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді у просторі оригіналів розв’язки розглянутих гіперболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення.

При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді

Умови екстремальності допустимого елемента задачі відшукання точки Штейнера кількох замкнених куль деякого полінормованого простору відносно множини цього простору основані на двоїстому поданні похідної за напрямом еквівалентної їй задачі найкращого наближення

2025-12-09T14:48:03+02:00

Як відомо (див., наприклад, [1, с. 47]), класична задача Штейнера в лінійному нормованому просторі полягає у відшуканні в заданій множині цього простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кожної з кількох фіксованих точок цього простору була б найменшою, тобто не перевищувала суми відстаней заданих точок до будь-якої іншої точки цієї множини.

На практиці доводиться мати справу з, так званими, «зваженими» задачами Штейнера, в яких відстаням, про які йшла мова вище, приписують різні «вагові» характеристики (див., наприклад, [1, с. 47]).

Якщо у «зваженій» задачі Штейнера «зважені відстані» між фіксованими точками лінійного нормованого простору і точками його множини замінити на відстані між цими точками, породжені, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі, то отримаємо задачу Штейнера в полінормованому просторі, яка є узагальненням «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2]).

У роботі [2] для випадку, коли множина полінормованого простору, відносно якої розглядається узагальнена задача Штейнера, є опуклою, встановлено співвідношення двоїстості та умови екстремальності допустимого розв’язку цієї задачі, основані на співвідношенні двоїстості, що узагальнюють відомі результати, отримані для задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору (див., наприклад, [3]).

Задача, що розглядається в роботі, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі фіксованих точок лінійного над полем дійсних чисел простору замкненими кулями, що визначаються відповідними нормами цього простору. В якості відстаней між отриманими кулями та точками фіксованої множини лінійного простору приймаються гаусдорфові відстані між ними, породжені відповідними нормами

Рамсеївські числа для прямокутників у багатокольорових розфарбуваннях

2025-12-24T18:24:09+02:00

У статті розглянуто рамсеївський підхід до аналізу дискретних двовимірних структур, у яких за зростання розмірів неминуче виникають регулярні підконфігурації. Вихідною є ідея теорії Рамсея про те, що в достатньо великій системі «повний хаос» неможливий: незалежно від способу побудови обов’язково з’являється впорядкована підструктура. Досліджується багатокольорове заповнення прямокутної ґратки a × b із забороною однотонного осьово-орієнтованого прямокутника, який розглядається як базовий локальний шаблон упорядкування.

Уведено порогові характеристики, що описують межі існування допустимих конфігурацій: встановлюються області параметрів, де заборонений шаблон ще можна уникати (існують контрприклади), та області, де його поява стає гарантованою для будь-якого розфарбування. Для дво- та трикольорових випадків отримано оцінки, пов’язані з площею максимальних нетривіальних контрприкладів, а також визначено мінімальні за площею прямокутники, які вже не можуть бути контрприкладами. Таким чином, результати задають критичні масштаби, після яких локальна регулярність проявляється неминуче.

Одержані оцінки мають прикладний сенс у задачах, де важливо контролювати появу повторюваних локальних конфігурацій у матричних даних. Зокрема, вони можуть бути використані для математичного моделювання та побудови матриць призначень у схемах розподілу «час-канал» (рядки відповідають часовим слотам, стовпці – каналам або ресурсам, колір – класу/стану), щоб зменшувати небажані повтори та штучні кореляції. Крім того, запропонований підхід придатний для формування контрольованих тестових масивів у задачах виявлення шаблонів у двовимірних даних (матрицях подій, картах спостережень, зображеннях), де потрібна гарантована відсутність заданого типу регулярності до певного порога розмірів

Вплив гладкості на точність чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій двох змінних на розріджених сітках

2026-01-03T22:50:30+02:00

Однією з ключових задач у сучасній прикладній математиці, без якої неможливе моделювання та аналіз складних процесів, зокрема в цифровій обробці зображень, є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування.

Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних в точках, на лініях, площинах, тощо. На основі таких операторів будуються економні схеми інтерполяції функцій декількох змінних. Застосування економних схем в чисельному інтегруванні функцій двох та трьох змінних дозволяє будувати розріджені сітки та обчислювати наближено інтеграли з меншою кількістю даних та із заданою наперед точністю порівняно з класичними методами.

Метою даної статті є демонстрація використання економних схем інтерполяції для наближеного обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцильованих функцій загального виду на різних класах гладкості. В роботі проаналізовано вплив порядку диференційовності функції на швидкість спадання теоретичної похибки наближення кубатурної формул. Показано, що зі зростанням гладкості функції покращуються оцінки похибки чисельного інтегрування, що дозволяє ефективно використовувати розріджені сітки без втрати точності. Отримані результати встановлюють кількісний зв’язок між класом диференційовності функції, параметрами дискретизації та частотою осциляцій і можуть бути використані для обґрунтування вибору чисельних методів інтегрування швидкоосцилюючих функцій двох змінних

Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з монотонною степеневою нелінійністю

2025-12-14T21:28:44+02:00

У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного диференціального рівняння з оператором Гельмгольца.

Область, у якій розглядається задача, є кругом, на межі якого поставлено однорідну першу крайову умову. Характер нелінійності є монотонним, описується степеневою залежністю від шуканої функції, де показник змінюється від 0 до 1. Переходячи до полярних координат і враховуючи, що розв’язок має аксіальну симетрію (тобто залежність від кута повороту відсутня, а наявна лише залежність від відстані до центру круга), отримаємо, крайову задачу для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Полюс полярної системи координат є особливою точкою цього рівняння, що приводить до необхідності накласти в цій точці на розв’язок умову обмеженості.

Для задачі будується функція Гріна і здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, що розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Досліджено властивості відповідного інтегрального оператора такі, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість

На наступному етапі дослідження знаходяться кінці інваріантного конусного відрізка, що є початковими наближеннями для ітераційного процесу. Після цього будуються два паралельних ітераційних процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (нижні наближення), а друга – не зростає за конусом (верхні наближення). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень. Отже, на кожному своєму кроці ітераційний процес дає нам апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного аксіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.

Теоретичні результати, отримані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів рівняння, що проілюстровано відповідними графіками

Застосування методу двобічних наближень до аналізу статичного прогину пружної балки з різними типами закріплення кінців в моделі мікроелектромеханічної системи

2025-12-22T11:13:21+02:00

У статті розглядається крайова задача для напівлінійного диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний прогин балки в мікроелектромеханічних системах (МЕМС) під дією електростатичних сил. Розглянуто різні типи закріплення кінців балки: жорстке закріплення (умови Діріхле) та шарнірне обпирання (умови Нав’є).

Для розв’язання відповідної крайової задачі запропоновано застосувати метод двобічних наближень, побудований на використанні відповідних функцій Гріна. Вибір методу обґрунтовано його здатністю не лише будувати наближений розв’язок, а й теоретично встановлювати умови існування розв’язку вихідної задачі разом із отриманням зручної апостеріорної оцінки похибки.

В основі дослідження лежить зведення крайової задачі до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, аналіз якого проведено методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Побудовано ітераційний процес знаходження додатного розв’язку та визначено умови, за яких гарантується двобічна збіжність наближень. Для аналізу ефективності алгоритму проведено низку обчислювальних експериментів для різних значень параметрів системи. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів. Досліджено зміну максимального прогину балки та проаналізовано вплив крайових умов на стійкість системи.

Новизна роботи полягає у розробці та застосуванні схеми методу двобічних наближень до рівнянь четвертого порядку, що моделюють прогин балок у МЕМС з різними типами закріплення. Результати дослідження можуть бути використані при проєктуванні мікроперемикачів, газових датчиків, мікропінцетів та інших компонентів сучасної мікросистемної техніки для прогнозування їхньої статичної поведінки та оптимізації робочих параметрів. Також отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво- та тривимірні задачі, а також (у комбінації з методом Роте) розповсюдити на нестаціонарний випадок

Найкраще наближення класів функцій, породжених складеними ядрами

2025-11-06T22:46:17+02:00

Множина 2π-періодичних функцій, суттєвий супремум модуля r-тих похідних яких не перевищує одиниці, є класом згорток ядра Бернуллі порядку r із елементами одиничної кулі простору сумовних суттєво обмежених 2π-періодичних функцій із середнім значенням на періоді рівним нулю. В 1936 р. Ж. Фавар знайшов точні значення найкращих наближень таких класів тригонометричними многочленами порядку не вище за n – 1 в рівномірній метриці при кожному натуральному n. У подальших дослідженнях при відшуканні верхніх меж найкращих наближень класів згорток тригонометричними поліномами заданого порядку як в рівномірній так і в інтегральній метриках розглядались ядра Бернуллі дробового порядку, узагальнені ядра Вейля-Надя, ядра Пуассона. У 1938 р. угорський математик Б. Надь запропонував достатню умову для ядра згортки класу (це т. зв. умова Надя): існує тригонометричний многочлен порядку n – 1, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках і лише в них із почережною зміною знаку різниці між ядром та цим многочленом. Виконання цієї умови дозволяє обчислити найкраще наближення ядра в інтегральній метриці, найкраще наближення класу згорток з цим ядром у рівномірній та інтегральній метриках. У 1946 р. С. Нікольський узагальнив умову Надя.

Завдяки результатам М. Крейна (1938 р.) в більшості випадків не складно побудувати тригонометричний многочлен, який інтерполює ядро в 2n рівномірно розташованих на періоді точках. Труднощі виникали при доведенні того факту, що більше точок інтерполяції немає. При дослідженні деяких ядер математики зіткнулися з тим фактом, що окрім «гарантованих» 2n точок інтерполяції можуть з’являтися «додаткові» точки інтерполяції. Це спонукало авторів розглянути випадки ядер, для яких «стандартна» умова Надя не виконується. Один із кроків в цьому напрямку робиться в цій роботі. Знайдено деякі достатні умови для лінійних комбінацій парних ядер а також непарних ядер, які тригонометричними многочленами порядку n – 1 інтерполюються лише в 2n + 2 рівномірно розташованих на періоді точках для парного випадку та лише в 2n + 1 рівномірно розташованій на періоді точці зі зміною знаку різниці між лінійною комбінацією та многочленом в точках інтерполяції. Тобто для цих випадків многочлени порядку n – 1 забезпечують найкраще наближення так, якби це були многочлени порядку n. Також у роботі наведені приклади різниць непарних ядер (Бернуллі, Бернуллі та Пуассона), різниці парних ядер Бернуллі, які демонструють одержані в роботі теореми. Як наслідок, у роботі також знайдені величини найкращих наближень тригонометричними многочленами порядку n деяких класів згорток із такими лінійними комбінаціями непарних (парних) ядер, коли для них не виконується умова Надя порядку n, проте виконується ця умова на порядок вище

Реалізація геометрії Ліпшиця на нескінченності комплексних аналітичних множин

2025-10-17T18:15:59+03:00

У статті здійснено поглиблений аналіз розвитку та застосування ліпшицевої геометрії на нескінченності у дослідженні комплексних аналітичних множин, спрямований на встановлення взаємозв’язку між їхньою алгебраїчною природою та глобальною метричною структурою. Розглянуто узагальнене визначення ліпшицевих і біліпшицевих гомеоморфізмів на нескінченності у термінах метричних просторів, що забезпечує можливість класифікації аналітичних множин за їхньою асимптотичною поведінкою та введення поняття ліпшицевої еквівалентності поза компактними областями. Досліджено клас чистих d-вимірних цілих комплексних аналітичних підмножин, для яких сформульовано та доведено критерій алгебраїчності через існування єдиного дотичного конуса на нескінченності, який виявляється d-вимірною комплексною алгебраїчною множиною. Доведено еквівалентність трьох фундаментальних властивостей: алгебраїчності аналітичної множини; унікальності її дотичного конуса на нескінченності; біліпшицевої гомеоморфності на нескінченності комплексній алгебраїчній множині. Особливу увагу приділено ролі гіпотези Мікса III, яка стосується унікальності дотичних конусів мінімальних поверхонь у R³ із квадратичним зростанням площі, та її зв’язку з поняттям ліпшицевої регулярності на нескінченності. Показано, що метричні інваріанти, зокрема біліпшицеві гомеоморфізми, дозволяють описати асимптотичну жорсткість і стабільність аналітичних структур. Отримані результати узагальнюють і поглиблюють теореми Чоу, Столла-Бішопа та Лоясевича, вводячи нові критерії для ідентифікації алгебраїчних множин за їхніми глобальними метричними характеристиками. Запропонований підхід формує концептуальну основу для подальших досліджень асимптотичної жорсткості, стабільності та деформацій комплексних аналітичних об’єктів у межах сучасної комплексної та диференціальної геометрії

Чисельне інтегрування швидкоосцильованих функцій із використанням операторів відновлення за даними на лініях

2025-12-31T10:48:00+02:00

У сучасному математичному моделюванні фізичних та технічних процесів актуальною є проблема обробки й аналізу функцій багатьох змінних, значення яких відомі на системах ліній. Не виключенням є і задачі цифрової обробки зображень, зокрема чисельного інтегрування функцій з осциляцією. У задачах цифрової обробки зображень значна частина інформації про досліджуваний об’єкт надходить у вигляді вимірювань уздовж окремих напрямів або ліній, що є характерним для томографічних методів, дистанційного зондування та систем візуалізації. Розробка та застосування ефективних методів чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій на основі даних на системі ліній є важливою передумовою підвищення точності реконструкції, фільтрації та аналізу цифрових зображень.

Дослідження в статті присвячено чисельному інтегруванню щвидкоосцильованих функцій декількох змінних. Наведено кубатурну формули наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Кубатурна формула в своїй побудові в якості даних про функцію використовує сліди на взаємно перпендикулярних лініях. На класі диференційовних функцій представлено оцінки похибки наближення.

В роботі багато уваги приділено тестуванню кубатурної формули наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Отримані результати дозволяють пояснити вибір параметрів, підтвердити теоретичні оцінки похибки. Чисельний експеримент набуває особливої значущості, оскільки є базою для аналізу та прогнозування поведінки методу у тривимірному випадку. Це пов’язано з тим, що зі збільшенням розмірності зростає обсяг необхідної інформації про підінтегральну функцію, стає складніша структура похибки та істотно збільшуються обчислювальні витрати.

В роботі представлено кубатурну формулу наближеного обчислення потрійних інтегралів від осцильованої експоненти. Значення про функцію надаються як сліди функції на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримано оцінку похибки наближення на класі диференційовних функцій

Асимптотика розв’язку багатовимірного рівняння відновлення в матричній формі

2025-10-24T14:24:34+03:00

У статті досліджуються багатовимірні рівняння відновлення, що становлять важливий клас інтегральних рівнянь, пов’язаних із стохастичними процесами з моментами відновлення. Такі рівняння природно виникають у теорії випадкових еволюцій, марковських і напівмарковських процесів, а також у моделюванні систем, які періодично повертаються до початкового стану. Особливу увагу приділено випадку, коли рівняння подано в матричній формі, що дозволяє узагальнити класичні скалярні співвідношення на системи рівнянь, придатні для опису багатокомпонентних процесів.

Розглянуто рівняння відновлення з нелінійним нормуючим множником, який ускладнює аналітичне дослідження, проте робить модель більш гнучкою та близькою до реальних прикладних задач. Для отримання розв’язку застосовано метод перетворення Лапласа, що дало змогу перейти від інтегрального рівняння до алгебраїчної матричної форми, придатної для подальшого аналізу. Отримано явний вираз для перетворення Лапласа розв’язку рівняння відновлення, що є ключовим кроком для подальшого відновлення часової залежності розв’язку.

Крім теоретичного аналізу, у статті наведено приклад для конкретної функції відновлення, який ілюструє ефективність застосованого підходу. Розраховано основні характеристики розв’язку та проаналізовано вплив параметрів функції відновлення на поведінку системи. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні стохастичних систем, що допускають структуру відновлення, а також у задачах прикладної ймовірності, теорії надійності та моделюванні складних процесів з багатовимірною динамікою

Блочно-симетричні базиси і багатовимірні формули Ньютона

2025-10-07T17:47:22+03:00

У роботі розвинена конструкція блочно-симетричних інваріантів для послідовностей багатовимірних блоків та отримані багатовимірні формули Ньютона, які пов’язують три природні системи базисів. Дослідження спирається на введення блочних степеневих сум, а також повних і елементарних блочно-симетричних багаточленів, для яких побудовані багатозмінні формальні генеруючі степеневі ряди і встановлено фундаментальну тотожність векторного типу. Показано, що логарифмічна форма цієї тотожності призводить до системи рекурентних співвідношень Ньютона-Жирара з явними комбінаторними коефіцієнтами, що забезпечує коректний облік мономів у багатовимірному випадку. Отримані співвідношення сумісні з класичними формулами та не потребують додаткових припущень щодо комутативності перетворень або спеціальної нормалізації коефіцієнтів. Доведено, що переходи між зазначеними базисами мають трикутний характер щодо природного часткового порядку на мультиіндексах, що забезпечує єдність розкладів і оберненість відповідних лінійних перетворень. Доведено, що блочні степеневі суми утворюють базис інваріантної підалгебри, а повні і елементарні функції надають альтернативні розкладання з чіткими правилами перерахунку коефіцієнтів.

Детально розглянуто нескінченновимірний випадок із усіченням за кількістю блоків. Показано, що усічені представлення утворюють зростаючу за включенням послідовність (кожне наступне містить попереднє) і є рівномірно обмеженими на будь-якій фіксованій множині, що забезпечує рівномірну на компактних множинах збіжність до вихідного інваріанту. На основі цих властивостей сформульовано висновок про мінімальний набір твірних для кожного фіксованого сумарного ступеня. Для будь-якого фіксованого степеня всі інваріанти цього степеня генеруються елементами того ж степеня з будь-якої з трьох систем, при цьому усічені за кількістю блоків ряди рівномірно на компактах сходяться до відповідних повних блочно-симетричних багаточленів. Розроблена схема узагальнює класичну теорію симетричних функцій на блоковий випадок та формує єдину методологію для побудови базисів, взаємних переходів та контролю збіжності, що створює основу для подальших досліджень у галузі комбінаторики та алгебраїчного аналізу інваріантів