Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Титульні сторінки

Андрій Гудима — 2024-12-26

Відомості про випуск 26

Нормована алгебра бінарних чисел

Леся Вотякова — 2024-11-16

Багатство теорії функцій комплексної змінної, ефективність її методів завжди слугували стимулом і джерелом ідей при побудові теорії функції гіперкомплексної змінної. Необхідно відзначити, що гіперкомплексні числові системи є розширенням поля комплексних чисел. Сучасні гіперкомплексні дослідження можна поділити на алгебраїчні та аналітичні; останні часто називають гіперкомплексним аналізом у широкому розумінні.

В роботі побудовано нову систему гіперкомплексних чисел за допомогою встановлення ізоморфізму повній матричній алгебрі. Точніше: з повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу.

Матрична алгебра досліджується класичними методами теорії матриць, наділяється нормою і це дає можливість будувати елементи аналізу в ній, використовуючи методи матричного аналізу. Одержані для матриць результати переносяться на елементи ізоморфної алгебри скінченного рангу, тобто на гіперкомплексні числа, названі бінарними. І це дало можливість наділити алгебру бінарних чисел топологічною структурою і закласти початки аналізу в ній, побудувати функції бінарної змінної. У статті введено поняття збіжних послідовностей бінарних чисел, через них збіжних бінарних рядів.

Новизна нашого підходу у тому, що множина гіперкомплексних чисел розглядається як алгебра рангу 2 над полем і через знайдене матричне подання визначається n-й степінь бінарного числа, а отже і суми певних степеневих рядів, в алгебраїчній формі. Функції бінарної змінної означаються через суми відповідних степеневих рядів. І як результат – виведено загальну формулу для конструювання елементарних функцій бінарної змінної.

Ключові слова: алгебра скінченного рангу, гіперкомплексна система, бінарне число, , норма, бінарний степеневий ряд, функція бінарної змінної.

Еволюційні рівняння для кумулянтів функцій розподілу систем частинок з топологічною взаємодією

Віктор Герасименко — 2024-12-11

У статті сформульовано концепцію кумулянтного зображення для функцій розподілу, якими описується стан систем багатьох частинок з топологічною взаємодією, тобто за допомогою потенціалу взаємодії який визначається рангом близькості частинок. Кумулянти функцій розподілу ймовірностей інтерпретуються як кореляції станів частинок та визначаються як розв’язки відповідних кластерних розкладів функцій розподілу ймовірностей. Підкреслимо, що кореляції які виникають при еволюції системи частинок з топологічною взаємодією природно відрізняються від структури кореляцій систем багатьох частинок, стан яких традиційно описується симетричними функціями розподілу ймовірностей. У статті встановлено ієрархію еволюційних нелінійних рівнянь для кореляційних функцій (ієрархія рекурсивних рівнянь Ліувілля). У просторі послідовностей інтегрованих функцій побудовано непертурбативний розв’язок задачі Коші для ієрархії таких нелінійних еволюційних рівнянь. Досліджено типові властивості розкладу такого розв’язку, які породжуються властивостями його твірних операторів, а саме, кумулянтами груп операторів рівнянь Ліувілля. На основі динаміки кореляцій встановлено структуру розкладів в ряд, якими визначаються редуковані функції розподілу, а також редуковані кореляційні функції, що, зокрема, дозволило обґрунтувати структуру твірних операторів розв’язку задачі Коші для ієрархії рівнянь ББҐКІ (Боголюбов – Борн – Ґрiн – Кiрквуд – Iвон). Доведено, що структура розкладів для кореляційних функцій, твірними операторами яких є відповідного порядку кумулянти груп операторів рівнянь Ліувілля, індукує кумулянтну структуру розкладів в ряд для редукованих функцій розподілу та редукованих кореляційних функцій. Таким чином, динаміка систем багатьох частинок з топологічною взаємодією породжується динамікою кореляцій станів.

Математичне моделювання процесів самозаймання у насипі з круговим та півкруговим перерізом методами Роте та двобічних наближень

Анатолій Калініченко — 2024-12-14

Cамозаймання насипу таких матеріалів, як торф, вугілля, зерно виникає через накопичення тепла, виділеного екзотермічною реакцією окиснення, тому насип можна розглядати як тіло з внутрішнім джерелом тепла. Дослідження процесів самозаймання за допомогою математичного моделювання зводиться до необхідності розв’язання початково-крайової задачі для двовимірного напівлінійного рівняння теплопровідності. Оскільки знайти аналітичний розв’язок не завжди можливо, тому має сенс використання методів чисельного аналізу.

Метою цієї статті є чисельне дослідження початково-крайової задачі для двовимірного напівлінійного рівняння теплопровідності, що виникає при математичному моделюванні процесів самозаймання насипу сипучого матеріалу циліндричної форми з круговою та півкруговою основою методом Роте у поєднанні з методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна.

Для досягнення поставленої мети вихідна початково-крайова задача для напівлінійного рівняння теплопровідності методом Роте була замінена послідовністю крайових задач для напівлінійного еліптичного рівняння з оператором Гельмгольця, кожна з яких була зведена до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна. Для нього було побудувано ітераційний процес двобічного методу з умовою його зупинки, отриманою завдяки апостеріорній оцінці похибки. Апроксимація потужності внутрішнього джерела тепла була проведена за допомогою експоненціальної залежності.

Результати проведеного обчислювального експерименту наведено у вигляді графіків наближень до розв’язку на різних часових шарах та графіків теплокарт. Отримані наближені розв’язки для насипу циліндричної форми з круговою та півкруговою основою було порівняно між собою та з відомим розв’язком для насипу циліндричної форми з прямокутною основою.

Застосування методу двобічних наближень до розв’язання задачі Діріхле для напівлінійного рівняння з бігармонічним оператором, що є математичною моделлю мікроелектромеханічної системи

Антон Савченко — 2024-12-10

У статті розглянуто задачу Діріхле для напівлінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором, що виникає при математичному моделюванні різних фізичних процесів. Зокрема, пропонується розглянути процес прогину круглої пластини під дією електростатичної сили та гідростатичного тиску, що моделює роботу актюатора – основного механізму більшості мікроелектромеханичних систем (МЕМС).

У статті пропонується до розв’язання відповідної крайової задачі застосувати метод двобічних наближень на основі використання методу функцій Гріна. Вибір методу обумовлено тим, що він дає змогу отримати умови існування розв’язку вихідної задачі та має зручну апостеріорну оцінку похибки наближеного розв’язку.

Процес розв’язання методом двобічних наближень ґрунтується на тому, що задача для нелінійного диференціального рівнянням з бігармонічним оператором за допомогою методу функцій Гріна була зведена до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке було досліджено методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Побудовано ітераційний процес знаходження додатного розв’язку задачі та отримано умови його двобічної збіжності. Для конкретних значень параметрів моделі проведено низку обчислювальних експериментів та виконано порівняння з результатами, отриманими іншими авторами. Проведено аналіз зміни максимального відхилення пластини при різних значеннях тиску та постійному значенні напруги.

Новизна роботи полягає у тому, що до нелінійного рівняння з бігармонічним оператором метод двобічних наближень було застосовано вперше. Результати, отримані у роботі, свідчать про успішність застосування розробленого алгоритму до моделювання розглядуваного процесу.

Оскільки було розглянуто моделювання актюатора, який складається з круглих пластин, то отримані результати можуть бути використані при проєктування та дослідженні поведінки ультразвукових перетворювачів, датчиків тиску, мініатюрних насосів і детекторів газу тощо.

Алгоритм розв'язування систем зі стрічковими матрицями в задачах прогнозування ресурсу зварних конструкцій

Володимир Сидорук — 2024-12-24

Розроблено нові ефективні алгоритмічні та програмні засоби розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь надвеликих порядків з оцінкою достовірності отриманих результатів. Застосування розроблених алгоритмів спрямоване на чисельне прогнозування несучої здатності, залишкового ресурсу та працездатності відповідальних зварних конструкцій, зокрема, магістральних трубопроводів та посудин, що працюють під тиском, з виявленими експлуатаційними дефектами. Використання спеціалізованих обчислювальних методів не тільки підвищує точність оцінки залишкового ресурсу, але й оптимізує процеси технічної діагностики та подовження ресурсу відповідальних інженерних об'єктів.