Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Титульні сторінки

Андрій Гудима — 2024-09-30

Відомості про випуск 25

Двоїстий алгоритм пошуку простих чисел на відрізках великих розмірностей

Василь Абрамчук — 2024-06-26

Запропоновано матричну модель підпослідовності натуральних чисел з мультиплікативним базисом з перших простих чисел. Матрична модель – квадратна матриця, вектор-стовпці якої є арифметичними прогресіями з різницею і кількістю прогресій, що дорівнює добутку елементів базису. Викресливши арифметичні прогресії з першими членами, кратними елементам базису, дістанемо симетричну розріджену матрицю, яка містить усі прості числа підпослідовності натуральних чисел, крім базисних, що підвищує щільність простих чисел у розріджених матрицях. Розріджені матриці явно не формуються. Формується лише вектор перших членів арифметичних прогресій. Доведені властивості розріджених матриць, виведені формули, що прискорюють обчислення складених чисел в арифметичних прогресіях, визначена структура елементів вектора перших членів арифметичних прогресій, досліджена зв’язність симетричних частин розріджених матриць. З розширенням базису зростає у векторі перших членів кількість пар елементів з різницею, що дорівнює степеню двійки («близнята», «четвірки» тощо). Це є необхідною умовою існування констант, для яких лінійні рівняння двох змінних можуть мати нескінченну множину розв’язків у простих числах. Іррегулярність розподілу простих чисел у підпослідовностях натуральних чисел пов’язана з структурою елементів вектора перших членів. Побудовано алгоритм пошуку простих чисел на відрізках великих розмірностей з паралельним процесом обчислень. Запропонований алгоритм є двоїстим до алгоритмів просіювання підпослідовностей натуральних чисел за простими дільниками. У цих алгоритмах не можна розпаралелити процес обчислень, оскільки процедура просіювання вимагає зберігання числової інформації попередніх кроків (векторна модель обробки масивів). Двоїстий алгоритм паралельно обчислює складені числа в кожній парі арифметичних прогресій з симетричними першими членами, використовуючи лише вектор перших членів арифметичних прогресій, що дозволяє обробляти масиви великих розмірностей.

Застосування методу двобічних наближень до розв’язання першої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності з експоненціально нелінійним коефіцієнтом теплопровідності

Костянтин Василишин — 2024-09-01

Задача про теплопровідність об’єктів у нелінійних середовищах зводиться до розв’язання крайових задач для нелінійного рівняння теплопровідності, де коефіцієнти рівняння або функція потужності теплових джерел залежать від температури за деяким законом. Серед чисельних методів розв’язання задач для нелінійних рівнянь математичної фізики можна виділити методи скінченних різниць, скінченних елементів, варіаційні та проекційні, а також ітераційні методи. Серед останньої групи методів найбільш привабливим є метод двобічних наближень завдяки можливості отримати зручну оцінку для похибки наближеного розв’язку і довести існування розв’язку вихідної задачі.

Теорія лінійних напівупорядкованих просторів була побудована Л. В. Канторовичем у другій половині 30-х років XX ст. Подальший розвиток цієї теорії пов’язаний з роботами М. А. Красносельського, H. Amann’а, В. І. Опойцева, Н. С. Курпеля, Б. А. Шувара, А.І. Колосова та інших.

Метою статті є розробка методу двобічних наближень на основі використання функцій Гріна для розв’язання першої крайової задачі для нелінійного одновимірного рівняння теплопровідності і дослідження його роботи при розв’язанні тестових задач. Для досягнення поставленої мети була проведена заміна невідомої функції і крайова задача зведена до інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке розглянуто як нелінійне операторне рівняння у напівупорядкованому банаховому просторі. Отримано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та умови двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв’язанні тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями.

Дослідження колокаційного та колокаційно-ітеративного методів розв’язування одного типу інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю

Катерина Геселева — 2024-09-14

Математичними моделями багатьох задач природознавства й техніки є різні типи диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних, диференціально-функціональних, інтегро-функціональних рівнянь та їхніх систем. При дослідженні математичних моделей широко використовуються якісні й аналітичні методи теорії диференціальних рівнянь і методи обчислювальної математики. Серед великої кількості наближених методів, що мають широку область застосування при розв’язуванні різних прикладних задач, спостерігається спільний недолік, характерна риса якого степенева збіжність та обчислювальна нестійкість. Крім того, знаходження достатньо точних наближень за допомогою проекційних методів часто пов’язане з необхідністю розв’язувати системи рівнянь високих порядків, що виявляється достатньо важкою задачею. Прагнення спростити громіздкі обчислювальні схеми приводить до розвитку та дедалі ширшого застосування методу колокації та колокаційно-ітеративного методу.

Інтегро-функціональні рівняння досить широко застосовуються в різних областях науки, зокрема, до таких рівнянь зводяться рівняння з відхиленням аргументу як нейтрального типу так із запізненням.

У статті розглядається один тип інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю. Детально описаний процес перетворення такого рівняння до рівняння значно простішої структури. Показано, що при виконанні певних умов початкове та отримане після спрощення рівняння рівносильні. Сформульовано теорему існування розв’язку вище зазначеного рівняння, описані ідеї застосування колокаційного та колокаційно-ітеративного методів до одного типу інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю

Параболічні крайові задачі математичної фізики в напівобмежено-му кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі

Андрій Громик — 2024-09-10

У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ напівобмеженому за декартовою змінною z порожнистому циліндрі.

Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле), 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле).

Для побудови розв՚язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної, інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі (0; +∞) щодо аплікатної змінної та скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Ганкеля 2-го роду на полярному сегменті (R₀; R) з n точками спряження щодо радіальної змінної.

Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 1-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.

Застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді в просторі оригіналів розв’язки розглянутих параболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення.

При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді.

Умови екстремальності допустимого елемента для задачі відшу-кання узагальненого чебишовського центра кількох точок деякого полінормованого простору відносно множини цього простору

Уляна Гудима — 2024-08-29

У різних розділах математичної науки виникають задачі, пов’язані з необхідністю наближення найкращим чином складних математичних об’єктів більш простими і зручними у користуванні.

Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі найкращого одночасного наближення кількох елементів. До задач найкращого одночасного наближення кількох елементів можна віднести задачу відшукання чебишовського центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно множини цього простору.

Ця задача полягає у відшуканні в заданій множині лінійного нормованого простору такої точки (відносного чебишовського центра), максимальна відстань до якої від кожної з кількох фіксованих точок простору була б найменшою, тобто не перевищувала максимальної відстані від кожної з кількох заданих точок до будь-якої іншої точки цієї множини.

З єдиних позицій задачі найкращої одночасної апроксимації кількох елементів лінійного нормованого простору опуклими множинами цього простору розглядалися, зокрема, у працях [1, 2]. На практиці доводиться мати справу з такими задачами, у яких при відшуканні чебишовського центра кількох заданих точок лінійного нормованого простору відносно множини цього простору фігурують зважені відстані. Задача відшукання чебишовського у розумінні зважених відстаней центра розглядалась, зокрема, у праці [3]. У цій праці встановлено критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, основані на співвідношенні двоїстості для відповідної екстремальної задачі.

Якщо в задачі про чебишовський центр кількох точок лінійного нормованого простору, в якій відстані між точками визначаються зваженими нормами, зважені норми замінити, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на відповідному лінійному просторі, то отримаємо задачу про чебишовський центр кількох точок деякого полінормованого простору, яка розглядається у цій роботі.

Зрозуміло, що задачі про чебишовський центр кількох точок лінійного нормованого простору, про які йшла мова вище є частковими випадками задачі про чебишовський центр кількох точок деякого полінормованого простору.

S-слівна арифметика та високоточні обчислення

Валерій Задірака — 2024-07-30

Аналізуються тонкощі використання S-слівної арифметики, вплив значення параметру S на оцінку похибки заокруглення; що таке високоточні обчислення і де вони використовуються. Як сфери застосування S-слівної арифметики розглядаються задачі двоключової криптографії, комп’ютерної стеганографії та задачі трансобчислювальної складності. Для розробки алгоритмів S-слівної арифметики використовуються послідовні, паралельні, квантові моделі обчислення, а також використовуються системи залишкових класів. Розглядаються архітектурні особливості обчислювальної системи для реалізації ефективного алгоритму у різних моделях обчислень. Розглядаються особливості перенесення алгоритмів до іншої моделі обчислень. Для паралельної моделі обчислень зазначено важливість зменшення пов’язаних кроків, який може збільшувати кількість оброблюваних даних, але дозволяє залучити більшу кількість паралельних процесорів. Такий підхід є у протиріччі з методом, який зменшує кількість оброблюваних даних, і є необхідність дотримання балансу між двома цими методами у паралельній моделі обчислень. Для квантової моделі обчислень поєднання кубітів є ключовим фактором у визначенні квантового об’єму. Фізична схема визначає, які пари кубітів можуть бути заплутані у квантовому комп’ютері. Проведено аналіз складності реалізації операцій S-слівної арифметики у послідовній, паралельній та квантовій моделях обчислення. Надана апріорна оцінка загальної складності за кількістю однослівних операцій додавання, віднімання, порівняння, бітових операцій у разі реалізації S-слівних операцій у паралельній моделі обчислень. Наводиться інформація про постійно діючий науковий форум «Питання оптимізації обчислень», тематика якого тісно пов’язана з темою (1969-2023 р.р.).

Двоетапний метод розв’язання задачі комівояжера на основі генетичного алгоритму

Євген Івохін — 2024-09-12

Одним з основних завдань логістики є пошук найбільш ефективного маршруту в задачі комівояжера на заданій транспортній мережі, що дозволяє обслуговувати максимальну кількість споживачів, враховуючи певні критерії. У типовій задачі комівояжера критеріальною функцією найчастіше виступає довжина або тривалість маршруту. Однак, така постановка не враховує суб'єктивність оцінок тривалості переміщень за етапами, що може бути пов’язано з різними об’єктивними та суб’єктивними факторами. Розглянуто постановку задачі комівояжера з нечітко визначеною тривалістю переміщень між вузлами мережі. В основу підходу для розв’язання задачі покладено генетичний алгоритм з вдосконаленими процедурами мутації та формування різноманітності в популяціях. Для формалізації нечітких величин застосовується трапецієподібні нечіткі числа, що подаються в узагальненому випадку, який базується на застосуванні гаусовського розподілу та відповідних характеристик. На основі поєднання генетичного алгоритму та методу кластеризації Варда запропоновано двоетапну схему розв’язування оптимізаційної задачі комівояжера на заданій транспортній мережі. На першому етапі проводиться процедура кластеризації за методом Варда. На другому етапі на основі отриманого набору кластерів та знайдених оптимальних міжкластерних відстаней проводиться оптимізація тривалості маршрутів всередині кластерів. Для тестування ефективності створеного методу згенеровано два види моделей: з обмеженою кількістю доступних шляхів та з повнозв'язною топологією. Проведено обчислювальні експерименти по застосуванню розробленого методу для розв’язання задачі комівояжера з тривалістю переміщень між містами у вигляді нечітких чисел. Проведено порівняння результатів чисельних розрахунків. Отримані результати показали ефективність застосування попередньої кластеризації при використанні генетичного алгоритму для знаходження найкращих локальних оптимумів за однаковими вхідними параметрами.

Дослідження процесів самозаймання у насипі з прямокутним перерізом методами Роте та двобічних наближень

Анатолій Калініченко — 2024-09-01

Cамозаймання насипу матеріалу (вугілля, торф, зерно) відбувається як наслідок накопичення тепла, виділеного екзотермічною реакцією окиснення, що дає можливість розглядати насип як тіло з внутрішнім джерелом тепла. Дослідження процесів самозаймання методами математичного моделювання приводить до необхідності знаходження розв’язку початково-крайової задачі для двовимірного напівлінійного рівняння теплопровідності. Це не завжди можна зробити аналітично, тому має сенс використання методів чисельного аналізу.

Метою цієї статті є застосування методу Роте у поєднанні з методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна для знаходження розв’язку початково-крайової задачі для двовимірного напівлінійного рівняння теплопровідності, що виникає при математичному моделюванні процесів самозаймання насипу сипучого матеріалу циліндричної форми з прямокутною основою.

Для досягнення поставленої мети методом Роте після дискретизації рівняння теплопровідності за часовою змінною було отримано послідовність крайових задач, кожна з яких була зведена до рівняння Гаммерштейна. Для цього нелінійного операторного рівняння було побудовано ітераційний процес двобічного методу з умовою його зупинки, отриманою завдяки апостеріорній оцінці похибки. Апроксимація потужності внутрішнього джерела тепла була проведена за допомогою експоненціальної залежності.

У результаті проведеного обчислювального експерименту було отримано послідовність наближених розв’язків. Побудовані для них графіки теплокарт дозволили розглянути з часом перебіг процесу самозаймання в перерізі насипу циліндричної форми з прямокутною основою та виділити області накопичення тепла.

Метод R-функцій для розв’язання задачі масообміну циліндричного тіла з твірною у вигляді кривої Ламе з в’язкою нестисливою рідиною

Світлана Ламтюгова — 2024-08-31

Задача про стаціонарний масообмін циліндричного тіла з потоком в’язкої нестисливої рідини зводиться до розв’язання рівняння для концентрації з відповідними крайовими умовами на поверхні тіла та на нескінченності. Застосування конструктивного апарата теорії R-функцій дозволяє точно врахувати геометрію області, а також крайові умови разом з умовою на нескінченності.

Метод R-функцій було запропоновано академіком НАН України В. Л. Рвачовим. Для крайових задач математичної фізики цей метод дозволяє побудувати так звану структуру розв’язку крайової задачі, тобто жмуток функцій, що точно задовольняє всі крайові умови задачі і залежить від деяких невизначених компонент. Вибір цих невизначених компонент виконується так, щоб задовольнити (у певному сенсі) диференціальне рівняння задачі. Для цього можна використовувати стандартні чисельні методи математичної фізики (метод Рітца, метод Гальоркіна, метод найменших квадратів, колокацій тощо). Слід зазначити, що геометрія області при цьому враховується точно, тобто, зокрема, немає заміни криволінійних ділянок межі на вписані в них ламані, як це робиться, наприклад, у методі скінченних елементів.

Метою цієї статті є застосування методу R-функцій до розв’язання задачі масообміну циліндричного тіла з твірною у вигляді кривої Ламе при його обтіканні в’язкою нестисливою рідиною. Для досягнення поставленої мети на підставі методів теорії R-функцій побудовано повну структуру розв’язку лінійної крайової задачі для концентрації та для її розв’язання застосовано чисельний алгоритм на основі методу Гальоркіна для апроксимації невизначених компонент структури. У роботі не розглядається ступінь строгості, умови застосування використаних рівнянь руху рідини, вони розглядаються як математичні моделі, що підлягають чисельній алгоритмізації.

Аналіз розподілу температури у двошаровій композитній циліндричній оболонці зумовленої конвективним теплообміном на її зовнішній поверхні

Роман Мусій — 2024-09-11

Сформульована нестаціонарна задача теплопровідності для двошарової циліндричної оболонки. Матеріали складових шарів оболонки приймаються однорідними та ізотропними. Дана оболонка конвективно нагрівається зовнішнім середовищем. За вихідну систему рівнянь розглядуваної задачі використано систему лінійних двовимірних рівнянь на сумарні по складових шарах оболонки інтегральні характеристики температури. При отриманні даної системи застосовано гіпотезу про лінійний розподіл температури по товщині всієї оболонки. На основі розвинутої двовимірної математичної моделі теплопровідності для шаруватих циліндричних оболонок отримано загальний розв’язок задачі теплопровідності для двошарової циліндричної оболонки. Для такої оболонки, яка у прямокутній області на зовнішній поверхні локально конвективно нагрівається зовнішнім середовищем знайдено розподіл температури. Для числового аналізу розглянуто металокерамічну циліндричну оболонку, внутрішній шар якої виготовлений з вольфраму, а зовнішній – з кераміки. За такої структури і умов теплообміну із зовнішнім середовищем для розглядуваної оболонки досліджено вплив її геометричних параметрів та теплофізичних характеристик матеріалів її складових шарів на величину температурного поля на зовнішній поверхні оболонки.

Виявлені нові якісні і кількісні закономірності можуть бути використані для оцінки температурних полів в композитних елементах конструкцій шаруватої структури та в конструкціях з односторонніми покриттями. Отримані в даній роботі залежності розподілів температури від геометричних параметрів та теплофізичних характеристик є основою теоретичної бази для аналізу температурних режимів металокерамічних циліндричних оболонок. Зокрема, металокерамічні зубні коронки для прогнозування їх температурних режимів моделюються описаними вище двошаровими металокерамічними циліндричними оболонками, які локально конвективно нагріваються зовнішнім середовищем.

Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач з монотонними нелінійностями

Владислав Пархоменко — 2024-09-08

У роботі розглядається застосування методу двобічних наближень для знаходження додатних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь, які мають аксіальну симетрію.

Розглянуто випадок задання крайових умов першого роду, або умов Діріхле. У якості монотонної нелінійності розглядається степенева функція з показником від 0 до 1. Шляхом переходу до полярних координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку відносно функції, що залежить лише від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. Полюс полярної системи координат при цьому стає особливою точкою, у якій необхідно поставити умову обмеженості.

Для крайової задачі будується функція Гріна для подальшого зведенням задачі до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння у банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку неперервних функцій. Оператор досліджується на такі властивості, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість.

Далі знаходиться початкове наближення як кінці інваріантного конусного відрізка для ізотонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Будуються наступні ітераційні послідовності двобічних наближень: перша послідовність, що не спадає за конусом, і друга послідовність, що не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації береться середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес завершується, коли оцінка похибки розв’язку задовольняє заданій точності.

Отримані у роботі теоретичні результати перевірено за допомогою обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками.

Математична модель оптимального планування виробничого процесу

Олена Радзієвська — 2024-09-17

У першій половині минулого століття через зростання складності виробничих процесів виникла потреба в їх ефективнішій організації. В цей період і було закладено основи математичного моделювання економічних процесів.

Сучасні математичні моделі оптимального планування інтегрують штучний інтелект, методи машинного навчання та великі бази даних, враховують невизначеність і ризики у виробничих процесах з використанням у моделях стохастичних залежностей та методів теорії ймовірностей. Це дозволяє моделювати ще складніші системи та враховувати більше факторів, таких як коливання попиту, зміни у виробничих ланцюгах постачання тощо. Сьогодні моделі оптимального планування є основою систем управління підприємствами (ERP) та використовуються у різних галузях: від виробництва до логістики та енергетики.

У статті розглядається економіко-математична модель для планування оптимального виробничого процесу при певних припущеннях про економічний стан. Тобто, прибуток підприємства, яке може випускати різні види продукції, для кожного виду цієї продукції залежить від економічного стану країни. Визначається, яку частку у загальному виробництві підприємства буде займати певний вид продукції для отримання максимального прибутку. Прибуток підприємства залежить від стану економіки, тому очікуваний прибуток характеризується математичним сподіванням прибутку. Для оптимального плану виробництва потрібно прагнути до найкращого співвідношення між очікуваним прибутком і ризиком (середнім квадратичним відхиленням), тобто, потрібно знайти максимум функції, яка характеризує це співвідношення і є функцією n невідомих. Для знаходження екстремуму цієї функції знаходимо частинні похідні і отримуємо n нелінійних рівнянь з n невідомими. Виконуючи деякі перетворення, зводимо цю систему до системи n лінійних рівнянь. Якщо умови невід’ємності на змінні не накладаються, то при розв’язанні системи може бути, що деякі змінні прийматимуть від’ємні значення. Це означає, що для отримання оптимального прибутку не рекомендується виготовляти відповідний тип продукції.

Найкраще наближення в інтегральній метриці лінійної комбінації періодичних функцій різної парності

Віктор Сорич — 2024-09-13

У багатьох розділах математики часто виникають екстремальні задачі пов’язані із апроксимаційними характеристиками як наближаючих функцій, так і властивостями елементів, якими наближають. Наприклад, для поліномів кількістю точок співпадання значень функції та значень полінома, яким замінюють цю функцію на досліджуваному проміжку. На практиці задача наближення функції f із визначеної множини R зводиться до заміни її за визначеним алгоритмом до близької до неї, в певному розумінні, функції (многочлена) фіксованого степеня.

У рівномірній та, відповідно, інтегральній метриках задача знаходження точних значень найкращих наближень класів r разів диференційовних функцій, r – натуральне число, отримала своє висвітлення в роботах Ж. Фавара [1], Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна [2], Б. Надя, С. М. Нікольського [3], В. К. Дзядика [4], С. Б. Стєчкіна, Сунь Юн-шена та ін.

Остаточні результати по розв’язанню задачі найкращого наближення на класах Вейля-Надя при довільних значення параметрів, що визначають ці класи, належать українському математику В. К. Дзядику [4]. У його роботах на класах функцій, які породжені відомими ядрами Бернуллі, встановлено той факт, що кількість точок співпадання ядра та наближаючого полінома степеня n – 1 не перевищує 2n, враховуючи їх кратність, що і дозволило отримати остаточні результати. В роботі [5] наведені випадки таких лінійних комбінацій парних або ж непарних ядер, для яких кількість рівномірно розташованих точок інтерполяції рівна 2n + 2 для полінома степеня n – 1, який найменше відхилений в метриці простору L від досліджуваної лінійної комбінації.

Ідея дослідження складених ядер, що записуються у вигляді лінійної комбінації складових доданків, належить О. І. Степанцю [6] і отримала відповідне втілення в задачах сумісного наближення функцій та їх похідних. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром.

У роботі досліджуються лінійні комбінації трьох неперервних 2π-періодичних ядер різної парності і встановлено, що існують такі складені ядра, що їх тригонометричний поліном найкращого наближення порядку n – 1 в інтегральній метриці інтерполює ядро в 2n + 2 рівномірно розташованих точках.

Модель споживання алкоголю з напівмарківськими коефіцієнтами

Ярослав Чабанюк — 2024-07-31

Стаття присвячена застосуванню неперервної процедури стохастичної апроксимації, що включає напівмарківські перемикання в схемі усереднення з використанням малого параметру. Ми представляємо модель, у якій на об’єкти впливають шуми, що залежать від напівмарківського процесу. Акцент робиться на аналіз збіжності та стійкості процесу стохастичного наближення в цьому контексті. Теоретичні результати представлені разом із чисельним моделюванням, що демонструють практичне застосування в управлінні складними стохастичними системами. Ця робота відкриває способи для використання підходів стохастичного наближення в ширшій області напівмарківських процесів. Визнаючи мінливий характер споживання алкоголю та його залежність від різноманітних факторів, ми пропонуємо закодувати випадкову динаміку у напівмарківській структурі параметрів. Розглянута модель описує індивідуальне споживання алкоголю як напівмарківський процес; ймовірності переходу між різними станами споживання алкоголю визначаються соціально-демографічними змінними, які змінюються з часом. Таким чином, наш підхід долає розрив між реаліями тенденцій споживання алкоголю, що постійно змінюються, і статичними традиційними моделями зі сталими коефіцієнтами. Інтегруючи змінні реального світу в нашу інноваційну модель, ми пропонуємо новітній аналітичний інструмент, який прокладає нові шляхи для розуміння та вирішення проблем, пов’язаних із моделями вживання алкоголю. Крім того, наші висновки можуть суттєво вплинути на формулювання ефективних стратегій і заходів у сфері охорони здоров’я, а також спрямованих на зменшення шкоди, пов’язаної з алкоголем

Інтерполяційна задача у вагових просторах Пелі-Вінера

Ірина Шепарович — 2024-09-06

Ю. Любарський і К. Сейп (Revista Matematica Iberoamericana, 1997 (13), № 2) дослідили критерій існування єдиного розв’язку простої інтерполяційної задачі f(λ_k) = b_k в термінах умов Макенхоупта (неперервної та дискретної (A^p) умови) у просторах Пелі-Вінера цілих функцій експоненційного типу, що не перевищує π, чиє звуження на дійсну вісь співпадає з простором функцій, степінь порядку р модуля яких є інтегрованим за Лебегом на цій осі, з p-нормою (тут р є дійсним числом, більшим за 1). Ці результати дають можливість отримати критерій безумовної базисності системи експонент в просторі функцій, степінь порядку р модуля яких є інтегрованою за Лебегом на (–π; π) функцією. При цьому послідовність комплексних чисел (λ_k) з єдиною граничною точкою на нескінченності, для якої згадана інтерполяційна задача має єдиний розв’язок, називається повною інтерполяційною послідовністю в згаданому просторі Пелі-Вінера.

Згадані результати були узагальненням для випадку p = 2 результатів Павлова (1979), Нікольського (1980) та Мінкіна (1982). Ми ж узагальнюємо ці результати на вагові простори (вагою є степенева функція з показником степеня ω) цілих функцій експоненційного типу, що не перевищує σ, де σ – невід’ємне дійсне число, ω – дійсне число, більше від –1, з p-нормою, тобто знаходимо умови повноти послідовності інтерполяційної послідовності (λ_k) у ваговому просторі Пелі-Вінера. Розглядаємо різні форми цих умов, серед яких і умови Макенхоупта, неперервна та дискретна (A^p) умови. Доведено також, що якщо послідовність комплексних чисел є повною інтерполяційною послідовністю у ваговому просторі Пелі-Вінера, то вона є відносно щільною множиною в просторі С. Побудовано також приклад повної інтерполяційної послідовності у випадку σ = π.