Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Метод двобічних наближень у чисельному аналізі задачі Нав’є, що є математичною моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи

Микита Гвоздєв — 2026-05-29

У статті розглядається крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння четвертого порядку (задача Нав’є), що описує статичний прогин мікробалки в мікроелектромеханічних системах під дією електростатичних сил. В основі дослідження цієї задачі лежить її зведення до еквівалентного інтегрального рівняння або системи інтегральних рівнянь Гаммерштейна, які аналізуються методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах.

Першим способом від вихідної крайової задачі здійснено перехід до інтегрального рівняння Гаммерштейна шляхом побудови функції Гріна звичайного диференціального оператора четвертого порядку з умовами Нав’є. У другий спосіб спочатку здійснено перехід до першої крайової задачі для системи звичайних напівлінійних рівнянь з наступною її заміною системою рівнянь Гаммерштейна. При цьому використовуються функції Гріна звичайних диференціальних операторів другого порядку з першими крайовими умовами. Досліджено властивості нелінійних операторів, що відповідають отриманим рівнянню і системі рівнянь. Зокрема, встановлено, що кожен з цих операторів є додатним, ізотонним, ліпшіц-неперервним, неперервним та цілком неперервним.

Запропоновано дві схеми методу двобічних наближень. Вибір саме цього методу обґрунтовується тим, що він дозволяє не лише будувати наближений розв’язок, а й дозволяє теоретично встановлювати умови його існування та єдиності. Також перевагою методу двобічних наближень є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки.

Отримано умови збіжності кожної з запропонованих схем до єдиного на інваріантному конусному відрізку розв’язку вихідної крайової задачі. Для аналізу ефективності алгоритмів проведено низку обчислювальних експериментів для різних значень параметрів задачі. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів та надано практичні рекомендації

Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому шарі з порожниною

Андрій Громик — 2026-05-29

У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки гіперболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ циліндрично-круговому шарі з порожниною.

Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле), 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле).

Для побудови розв’язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної φ, скінченне інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті щодо аплікатної змінної z та гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі (R₀; +∞) з n точками спряження щодо радіальної змінної.

Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.

Застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді у просторі оригіналів розв’язки розглянутих гіперболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення.

При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді.

Data-driven підхід до обернених задач біфуркації тонкостінних систем на основі нейронних мереж

Наталія Гук — 2026-05-29

У роботі розглянуто задачу прогнозування біфуркаційної поведінки тонкостінних систем, що перебувають під дією переважаючих стискаючих навантажень за наявності локальних імпульсних збурень. В умовах нелінійного деформування такі системи можуть демонструвати множинність рівноважних станів, а їхня динаміка характеризується високою чутливістю до параметрів навантаження та початкових умов, що ускладнює застосування класичних аналітичних і числових методів.

В роботі запропоновано data-driven підхід до розв’язання оберненої задачі біфуркації, який ґрунтується на використанні нейромережевих моделей для ідентифікації та прогнозування критичних станів за часовими послідовностями вимірюваних значень переміщень. Побудовано динамічну нейронну мережу на основі багатошарового персептрона з урахуванням часової передісторії процесу деформування через введення регресорів і елементів затримки, що дозволяє враховувати інерційні властивості системи. Обернену задачу сформульовано як задачу прогнозування настання біфуркаційного переходу на основі мінімізації функціоналу похибки між спостережуваними та еталонними даними. Вихід нейронної мережі інтерпретується як неперервна оцінка ступеня наближення системи до критичного стану з подальшою бінарною класифікацією.

Проведено обчислювальні експерименти, що підтверджують точність і ефективність запропонованого підходу. Показано, що нейромережева модель забезпечує достовірне прогнозування біфуркації за час, менший, ніж час її реалізації, а також демонструє стійкість до варіацій параметрів і зовнішніх збурень. Отримані результати свідчать про перспективність застосування data-driven методів для задач аналізу, ідентифікації та ранньої діагностики втрати стійкості тонкостінних конструкцій.

Застосування методу сплайн-функцій до моделювання лінійних крайових задач із запізненням

Олексій Жолтовський — 2026-05-29

У даній роботі наведено алгоритми знаходження наближених розв’зків лінійних крайових задач із запізненням, оскільки знаходження точних розв’язків таких задач можливе тільки в найпростіших випадках.

У науковій літературі для наближеного розв’язання крайових задач із запізненням запропоновані методи колокацій, проекційно-ітераційні та чисельно-аналітичні алгоритми, які є достатньо складними для їх реалізації з використанням інформаційних технологій. При цьому слід враховувати, що розв’язки крайових задач із запізненням можуть мати розриви похідних, що ускладнює використання скінченно-різницевих методів.

Застосування методу сплайн-функцій виявилося ефективним підходом для наближеного знаходження розв’язків крайових задач із запізненням. У роботі розглянуто дві схеми застосування методу сплайн-функції: використання базисних кубічних сплайнів; ітераційна схема за допомогою кубічних сплайнів дефекту 2.

Перша схема адаптована для наближення гладких розв’язків крайових задач із запізненням, а друга схема дозволяє врахувати можливі розриви похідних розв’язку.

Для числового моделювання крайових задач для лінійних диференціально-різницевих рівнянь було розроблено прикладний із використанням мов C++, Lua і прикладного інтерфейсу для супровідних обчислень та графіки Vulkan. Для тестових модельних прикладів здійснено числові експерименти та проведено їх порівняльний аналіз.

Ультра матриці показників

Олексій Зеленський — 2026-05-29

У статті досліджено ультра матриці показників, тобто зведені матриці показників, для яких звичайна трикутникова нерівність посилюється до нерівності ультраметричного типу. Доведено, що кожна ультра матриця показників є матрицею показників, а кожна матриця показників з елементами з множини {0, 1} є ультра матрицею показників. Проаналізовано поведінку таких матриць відносно елементарних перетворень: перетворення першого типу загалом не зберігає ультравластивість, тоді як одночасна перестановка рядків і стовпців її зберігає. Показано, що сагайдак, одержаний зі зведеної ультра матриці показників, яка має хоча б один елемент, більший за одиницю, не є жорстким. Наведено контрприклад, який показує, що не кожний допустимий сагайдак із петлею в кожній вершині може бути одержаний з ультра матриці показників. Також встановлено низку структурних характеристик: описано монотонні деформації, які не змінюють відповідний сагайдак, фільтраційну характеристику через транзитивні порогові відношення, зв'язок 0-1 ультра матриць із частковими порядками, мінімаксну інтерпретацію та замкненість класу ультра матриць відносно покомпонентного максимуму. З погляду математичного моделювання ультра матриці показників можна розглядати як дискретні моделі напрямлених відстаней із обмеженнями вузького місця, де значення переходу визначається найсильнішим обмеженням на допустимих шляхах, а не сумарною вартістю. Це дає змогу застосовувати їх до моделювання ієрархічних систем, пріоритетних відношень, мінімаксної оптимізації, обмежених мережевих потоків, кластеризаційних структур та алгебраїчних або комбінаторних моделей, інформація яких кодується допустимими зваженими сагайдаками. Одержані результати дають інструменти для порівняння таких моделей і усунення надлишкових представлень без втрати напрямленої структури.

Визначення та аналіз тепла Джоуля і пондеромоторної сили у порожнистому мідному циліндрі за дії електромагнітного імпульса

Роман Мусій — 2026-05-29

Запропоновано фізико-математичну модель для визначення та аналізу закономірностей поведінки тепла Джоуля і пондеромоторної сили у неферомагнітному довгому порожнистому електропровідному циліндрі за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії. Сформульовано початково-крайову задачу електродинаміки для знаходження визначальної функції – осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля. Записано вихідні співвідношення для визначення питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили. Ці два фізичні фактори виникають у циліндрі внаслідок протікання індукованих струмів та взаємодії цих струмів із зовнішнім нестаціонарним електромагнітним полем. Для знаходження визначальної функції використано кубічну апроксимацію її розподілу по радіальній координаті. Коефіцієнти апроксимаційного кубічного полінома подаються у вигляді лінійної комбінації інтегральних за радіальною змінною характеристик визначальної функції та її граничних значень на внутрішній і зовнішній поверхнях циліндра. У результаті вихідна початково-крайова задача на визначальну функцію зведена до задачі Коші на її інтегральні характеристики. Розв’язок задачі Коші знайдено з допомогою інтегрального перетворення Лапласа за часом. Записано вирази осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля та питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили за дії одиночного електромагнітного імпульса. Для мідного порожнистого циліндра чисельно проаналізовано зміну в часі зазначених вище величин та їх розподіли по товщині даного циліндра. Встановлено, що максимальні значення тепла Джоуля і радіальної компоненти вектора пондеромоторної сили на серединній поверхні циліндра менші за їх значення на зовнішніх поверхнях циліндра приблизно у 1000 та 100 разів відповідно. Виявлено, що зі збільшенням товщини розглядуваного порожнистого циліндра при фіксованому радіусі його серединної поверхні максимальні значення тепла Джоуля і пондеромоторної сили зменшуються (приблизно в 0,6 разів) при збільшенні товщини циліндра на один міліметр.

Стійкість детермінованої та усередненої систем радіофізичних процесів у мікроконтролерних системах БПЛА

Анатолій Нікітін — 2026-05-29

У статті проведено теоретичне дослідження та математичне моделювання стійкості складних радіофізичних процесів, що протікають у мікроконтролерних системах керування сучасних БПЛА. Актуальність роботи зумовлена необхідністю забезпечення стабільної роботи бортової електроніки в умовах інтенсивних електромагнітних завад та нестаціонарних навантажень. Об’єктом дослідження є вектори стану, що включають амплітуду сигналу, фазу несучої та рівень напруги живлення мікроконтролера.

Наукова новизна роботи полягає у застосуванні принципу усереднення для аналізу еволюційних систем із швидкими марковськими переключеннями. Такий підхід дозволив перейти від складних стохастичних моделей до еквівалентної детермінованої системи, що оперує усередненими за стаціонарним розподілом параметрами: коефіцієнтом затухання, миттєвою частотою та інтенсивністю втрат у колі живлення.

У роботі використано комплекс методів теорії стійкості лінійних систем. Шляхом аналізу власних значень матриці коефіцієнтів встановлено необхідні умови стабілізації процесів. За допомогою побудови квадратичної функції Ляпунова виведено оригінальну достатню умову асимптотичної стійкості усередненої системи, яка враховує перехресний зв’язок між каналами амплітуди та енергозабезпечення. Встановлено критичний поріг інтенсивності цього зв’язку, перевищення якого веде до втрати стійкості системи навіть при стабільності її окремих компонентів.

Отримані результати мають безпосереднє практичне застосування при розробці алгоритмів фільтрації та стабілізації напруги в системах автопілотування БПЛА. Запропоновані аналітичні залежності дозволяють на етапі проектування оптимізувати параметри апаратних фільтрів та програмних засобів захисту мікроконтролера від збоїв, спричинених флуктуаціями радіосигналу та навантаження двигунів.

Аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса

Владислав Пархоменко — 2026-05-29

У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реакційно-дифузійної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса.

Задачі розглядається у сферичній області з неоднорідною першою крайовою умовою на межі, яка після заміни перетворюється на однорідну. Нелінійність подана у вигляді добутку лінійної та експоненціальної функцій. Після переходу до сферичної системи координат з урахуванням радіальної симетрії (розв’язок залежить лише від відстані до центру кулі, а від кутів повороту залежність відсутня), прийшли до крайової задачі для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Оскільки полюс сферичної системи координат є особливою точкою одержаного рівняння, необхідно поставити умову обмеженості розв’язку в цій точці.

Для задачі здійснюється побудова функції Гріна, далі виконується зведення до еквівалентного інтегрального рівняння, яке розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проведено дослідження властивостей відповідного інтегрального оператора такі, як гетеротонність та додатність.

Далі здійснюється пошук кінців сильно інваріантного конусного відрізка, які виступають початковими наближеннями для ітераційного процесу. Потім будуються два ітераційні процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (послідовність нижніх наближень), друга – не зростає за конусом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень, що надає можливість одержати на кожному кроці ітераційного процесу апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного радіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.

Теоретичні результати, одержані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Результати обчислювального експерименту подано у графічному вигляді.

Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем

Антон Савченко — 2026-05-29

У статті досліджено крайову задачу для напівлінійного диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний прогин балки в мікроелектромеханічних системах (МЕМС). На відміну від попередніх досліджень, де розглядалися лише класичні умови жорсткого закріплення та шарнірного обпирання, у роботі досліджено шість типів крайових умов: обидва кінці балки жорстко закріплені, обидва кінці балки шарнірно обперті, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – вільний, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – «ковзає», лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – шарнірно опертий, лівий кінець балки шарнірно опертий, правий – «ковзає». Розглянуті конфігурації охоплюють основні конструктивні схеми сучасних МЕМС-пристроїв – від мікроперемикачів і резонаторів до зондів атомно-силових мікроскопів, мікродзеркал та п’єзоелектричних збирачів енергії.

Для дослідження зазначених задач застосовано метод двобічних наближень, побудований у напівупорядкованому банаховому просторі неперервних функцій. Вихідну крайову задачу зведено до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна з ізотонним оператором, ядром якого є відповідна функція Гріна. Для кожного з шести типів закріплення кінців балки побудовано функцію Гріна та обчислено максимальний безрозмірний прогин балки під дією одиничного рівномірно розподіленого навантаження. На основі ізотонності інтегрального оператора побудовано інваріантний конусний відрізок та сформульовано теорему про існування й єдиність додатного розв’язку крайової задачі, до якого двобічно збігається ітераційний процес.

Проведено обчислювальний експеримент при значеннях параметрів реального МЕМС-актюатора. Для кожного типу закріплення обчислено найбільше значення прикладеної напруги, при якому виконуються достатні умови збіжності методу, побудовано наближені розв’язки. Встановлено впорядкування шести типів закріплення кінців балки за величиною, що дає кількісну основу для вибору оптимального типу закріплення кінців балки при проєктуванні МЕМС-пристроїв з різними робочими характеристиками.

Новизна роботи полягає в розвитку методу двобічних наближень в частині його застосування до крайових задач з набором шести фізично значущих типів крайових умов. Це дозволяє для кожної конфігурації отримати верифіковані наближення прогину з апріорними двосторонніми оцінками в межах конструктивно встановленого безпечного робочого діапазону прикладеної напруги. Отримані результати можуть бути безпосередньо застосовні при проєктуванні мікроперемикачів, мікрорезонаторів, сенсорів, мікродзеркал та п’єзоелектричних мікроактюаторів. Розроблена схема методу може бути поширена на узагальнення моделі – змінну діелектричну проникність, часткове електростатичне навантаження, нелінійності іншого вигляду, а також (у комбінації з методом Роте) на нестаціонарний випадок.

Модифікація базового двостороннього методу розв’язування інтегральних рівнянь

Петро Сеньо — 2026-05-29

В роботі розглядається задача побудови гарантованих двосторонніх наближень розв’язку інтегральних рівнянь певних класів. Класичні методи, як правило, дають лише наближення розв’язку в окремих точках, а в інших точках – загальні теоретичні апроксимації без строгих оцінок похибки, тоді як для задач із невизначеністю параметрів або початкових умов принципово важливо отримати верхню та нижню межі, між якими гарантовано міститься шуканий розв’язок. Класичні інтервальні методи розв’язування таких рівнянь на основі інтервальних аналогів рядів Тейлора потребують автоматичного диференціювання високих порядків та характеризуються накопиченням похибки на великих проміжках, що суттєво ускладнює їх практичне застосування. У [1] запропоновано ітераційний двосторонній алгоритм розв’язування рівнянь зазначеного виду на основі математики функціональних інтервалів із квадратичною збіжністю, у якому, однак, вибір довжини інтервалу, що забезпечує задану точність, та число ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку визначаються неявно. У цій роботі доведено теорему, що дає оцінку функціональної невизначеності двосторонньої апроксимації на правій межі інтервалу, явний вираз кроку розбиття, який забезпечує задану точність апроксимації за одну побудову, та логарифмічну оцінку кількості ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку на заданому проміжку базовим алгоритмом з [1]. На основі доведеної теореми запропоновано модифікований алгоритм, який забезпечує бажане звуження двосторонньої апроксимації шуканого розв’язку за один крок. Алгоритм апробовано двома числовими експериментами, результати яких підтверджують теоретичні висновки. Це суттєво зменшує число ітерацій алгоритму.

Дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна

Равіль Янбеков — 2026-05-29

У роботі розглядається перша крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння, яка є математичною моделлю деякого термохімічного процесу. При цьому розглянуто класичну задачу Брату і два її узагальнення, що враховують як втрати тепла через охолодження, так і зовнішній підігрів. Експоненціальна нелінійність в рівняннях відповідає наближенню закону Арреніуса за Франк-Каменецьким.

Методом функцій Гріна кожна з розглянутих задач замінена еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна, яке проаналізовано методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Для цього інтегральне рівняння подане як рівняння з нелінійним оператором, який діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Оператор досліджено на додатність, монотонність, ліпшіц-неперервність, існування інваріантного конусного відрізка тощо.

Для чисельного аналізу цих інтегральних рівнянь (а отже, і розглядуваних крайових задач) запропоновано ітераційні схеми методу двобічних наближень. Початковими наближеннями цих схем обираються кінці інваріантного конусного відрізка. Для кожної зі схем отримано умови збіжності і умови існування додатних розв’язків відповідних крайових задач. Також для цих розв’язків отримано двосторонні апріорні оцінки.

Обчислювальні експерименти були проведені для різних значень параметрів і у випадку задачі Брату результати порівняно з точним розв’язком. За підсумками аналізу зроблено висновки про ефективність запропонованих обчислювальних схем. Зокрема, їх перевагою є наявність гарантованої апостеріорної оцінки точності наближеного розв’язку та зручний критерій закінчення ітерацій.

Отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво- та тривимірні математичні моделі термохімічних процесів з експоненціальними нелінійностями.