Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Титульні сторінки

Андрій Гудима — 2023-12-05

Відомості про випуск 24

Матрична алгебра В як евклідовий простір

Леся Вотякова — 2023-10-25

Представлення інформації за допомогою гіперкомплексних числових систем використовується в різних задачах науки і техніки: у класичній механіці, механіці твердого тіла, електродинаміці, радіоелектроніці, комп’ютерній анімації та інших [1].

Часто під гіперкомплексною системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексними числами) розуміють будь-яку скінченновимірну алгебру над полем. Важливе місце серед таких алгебраїчних структур займають матричні алгебри.

Неможливість побудови алгебр з діленням зовсім не означає неможливість побудови алгебр без ділення, але за своїми властивостями близьких до перших (використання доозначеного ділення).

Оскільки кожна алгебра скінченного рангу може бути мономорфно занурена у деяку повну матричну алгебру, то це спричинило, так би мовити, інверсний підхід до побудови нових алгебр. З повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу. Саме реалізація такого підходу дає можливість наділяти елементи алгебри скінченного рангу матричними характеристиками, зокрема будується канонічне подання елементів алгебри через спектральне подання матриці, а сама алгебра наділяється топологічною структурою через одну із матричних норм. При цьому часто накладають іще додаткову умову, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел; у першому випадку кажуть про «дійсну» гіперкомплексну систему, у другому – про «комплексну».

У статті побудовано дійсну алгебру скінченного рангу, елементами якої є матриці другого порядку з однаковою сумою рядків і стовпців. Ми наділили її нормою і скалярним добутком, продемонструвавши, що вона є евклідовим простором. Ця алгебра є матричним поданням алгебри гіперкомплексних чисел, які ми назвали у своїх дослідженнях бінарними [4].

Методи розв'язування одного типу лінійного інтегро-функціонального рівняння

Катерина Геселева — 2023-11-14

У статті розглядається один тип лінійного інтегро-функціонального рівняння. Наведено спосіб перетворення такого рівняння до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Наближені розв¢язки цього рівняння побудовані за допомогою колокаційного та колокаційно-ітеративного методів

Побудова областей стійкості лінійних автономних диференціальних рівнянь із запізненням

Микола Гритчук — 2023-11-09

Метою цієї статті є дослідження стійкості розв’язкiв лінійних автономних диференціальних рівнянь із запізненням аргументу. Дослідження стійкості можна звести до проблеми розміщення коренів характеристичного рівняння. Для лінійного диференціального рівняння із кількома запізненнями одержано необхідні і достатні умови, при яких всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини (отже, нульовий розв’язок відповідного диференціального рівняння є асимптотично стійким). Для скалярного диференціального рівняння із запізненням одержано область стійкості на площині параметрів. Досліджено умови обмеженості і побудовано області стійкості лінійного автономного диференціального рівняння із кількома запізненнями. Для побудови області стійкості використано принцип аргументу, метод D-розбиттів і числові методи. У цій статті ми досліджуємо стійкість розв’язкiв лінійних автономних диференціальних рівнянь із кількома запізненнями. Одержано необхідні і достатні умови, при яких всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини. Одержано обмеження на коефіцієнти рівняння за допомогою принципу аргументу і побудовано область стійкості лінійного автономного диференціального рівняння із двома запізненнями. Використано принцип аргументу, метод D-розбиттів і числові методи для побудови області стійкості лінійного автономного диференціального рівняння із двома запізненнями. В методі D-розбиттів ми шукаємо значення параметрів, для яких характеристичне рівняння має хоча б один нуль на уявній осі. Розглянуто деякі приклади диференціальних рівнянь із двома запізненнями. При певних значеннях запізнень область стійкості обмежена двома прямими лініями і скінченним числом параметрично заданих кривих

Параболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому півпросторі з порожниною

Андрій Громик — 2023-11-20

У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв'язки параболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ циліндрично-круговому півпросторі з порожниною.

Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле) і 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле – Неймана, Неймана – Діріхле).

Для побудови розв’язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної, інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі (0; +∞) щодо аплікатної змінної z та гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі (R₀; +∞) з n точками спряження щодо радіальної змінної.

Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 1-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.

Послідовне застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді в просторі оригіналів розв’язки розглянутих параболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення.

При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді.

Умови існування екстремального елемента узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі, в якій відхилення між елемен-тами визначаються з допомогою сублінійних функціоналів

Уляна Гудима — 2023-11-16

Важливе місце серед екстремальних задач займає класична задача Штейнера, яка полягає у відшуканні в заданій множині лінійного нормованого простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кількох фіксованих точок цього простору не буде перевищувати суми відстаней від них до будь-якої іншої точки допустимої множини (буде мінімальною) (див., наприклад, [1, с. 314]).

У класичній задачі Штейнера приймається, що всі відрізки лінійного нормованого простору є «однорідними». Проте на практиці їх довжинам приписують різні «вагові» характеристики. В результаті приходять до, так званої, «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2, с. 468; 3, 4]), яка, в свою чергу, є частковим випадком задачі, в якій суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками його множини, що визначалися зваженими нормами, замінено на суми відстаней між цими точками, які, взагалі кажучи, визначаються різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі. Внаслідок такої заміни отримаємо узагальнену задачу Штейнера в полінормованому просторі [5].

Як відомо, виникають задачі, зокрема задачі наближення, в яких міра відхилення між фіксованими елементами та елементами заданої множини є, так званою «викривленою метрикою».

Задача, що розглядається в статті, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками множини допустимих елементів, які визначаються різними нормами, заданими на лінійному просторі, сумою відхилень між зазначеними точками, які визначаються невід’ємними неперервними сублінійними функціоналами, заданими на відповідних лінійних нормованих просторах. У статті для цієї задачі встановлено деякі умови існування екстремального елемента (точки Штейнера), які узагальнюють відповідні результати, отримані, зокрема, у праці [6] для задачі найкращої апроксимації елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору.

Комбінаторний аналіз лотерей

Олексій Зеленський — 2023-11-13

Лотерея є найдавнішою та найвідомішою азартною грою, яка практикується з глибокої давнини. У своїх різних формах лотерея зберігає основну структуру та технічну процедуру, що робить її найпростішою та найпопулярнішою азартною грою: випадковим чином вибирається один об’єкт з множини (м’ячів, білетів, тарілок, листочків тощо), що містить попередньо визначені символи (числа, зображення, слова тощо), з подальшим розподілом призів для гравців, які зробили правильні прогнози щодо цього розіграшу, відповідно до деяких попередньо встановлених правил.

У наш час найпоширенішою формою лотереї є випадково вибрані числа; виграшні категорії базуються на кількості чисел, правильно передбачених на ігровому білеті. Найпопулярнішими формами цих ігор є національні та державні лотереї.

Найважливішим елементом, який сприяє захопленню публіки лотерейними іграми, є розмір призів, особливо для найвищої виграшної категорії. Можливість (фізично реальна, математично надто неймовірна) виграти великий приз – створює мотивацію зі складним психологічним корінням, яке часто не помічає практичних аспектів, таких як інвестиції в лотерейні квитки та математичні аспекти гри, особливо ймовірності виграшу.

Моделюючи гру математично доведено, що в ідеальних умовах випадковості неможливий тривалий регулярний виграш для гравців азартних ігор; тому азартні ігри не є хорошим способом заробити на життя. Більшість азартних гравців приймають цю передумову, але все ще працюють над стратегіями в надії на численні виграші в довгостроковій перспективі. Комбінаторний аналіз можна використовувати для моделювання гри в лотерею.

Теорема існування для задачі масопереносу на графі

Валерій Колесников — 2023-11-03

Процес масопереносу у пористому середовищі описується за допомогою рівняння Річардса-Клюта. Дане рівняння враховує дії капілярності та гравітації, що впливають на потоки маси, та дозволяє моделювати процес масопереносу, враховуючи межу повного насичення. Рівняння Річардса-Клюта є нелінійним еліптико-параболічним диференціальним рівнянням у часткових похідних, тому основними методами для знаходження його розв’язків та моделювання процесу масопереносу є чисельні методи.

У статті розглядається модель системи з’єднаних між собою труб, всередині яких відбувається процес масопереносу. Такі системи часто зустрічаються у сільському господарстві та активно використовуються при побудові іригаційних систем. У статті пропонується моделювати дані системи труб за допомогою графів, де труби представляються ребрами графу, а точки з’єднання або вільні кінці труб системи – вершинами графу.

Стаття містить означення рівняння Річардса-Клюта на графі у звичайній та слабкій формах. На ребрах графу розглянуті одновимірні рівняння Річардса-Клюта, в той час як на вершинах або задані крайові умови, або наведене рівняння, що моделює закон збереження маси. Також наведено означення розв’язку та слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі. Також у статті доведена теорема про існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі.

Для доведення теореми існування слабкого розв’язку рівняння Річардса-Клюта на графі застосовується перетворення Кірхгофа та наводяться умови, що є аналогічними до умов, які використовуються в доведенні існування слабкого розв’язку для рівняння Річардса-Клюта в звичайних областях в тривимірному просторі, та які визначаються в класичній роботі Альта та Лукхауса, що присвячена проблемам існування та єдиності слабких розв’язків еліптико-параболічних диференціальних рівнянь в часткових похідних

Самоадаптивний CMA-ES алгоритм

Юлія Літвінчук — 2023-11-22

У роботі буде розглянуто один із самоадаптивних алгоритмів підбору параметрів складних систем, прикладами яких являються нейронні мережі. Самоадаптивні алгоритми – це алгоритми, які змінюють свою поведінку під час виконання на основі доступної інформації та заздалегідь визначених механізмів винагороди. Ці алгоритми широко використовуються в різних галузях, включаючи машинне навчання, оптимізацію та стиснення даних. Самоадаптивність алгоритму у даному випадку буде ґрунтуватися на підборі кількості піків у суміші розподілів у розширеному CMA-ES алгоритмі за умови нормального базового розподілу.

У статті представлений покращений самоадаптивний алгоритм CMA-ES, з акцентом на параметр, що визначає кількість піків у суміші нормальних розподілів. У алгоритмі враховуються методи налаштування даного оптимального значення, що використовуються при виборі номерів кластерів в алгоритмах кластеризації CURE, BIRCH тощо. Очевидно, що наведене обґрунтування цього підходу може бути поширене на суміші з іншим базовим розподілом, кожен з яких характеризується скінченним числом піків у суміші розподілів. Це означає самоадаптивність та застосовність алгоритму до ширшого спектру сценаріїв, що включають різні характеристики розподілу. Немає сумніву у тому, що запропонований садоадаптивний алгоритм налаштування параметрів, що базується на CMA-ES алгоритмі, може бути розширений і на інші генетичні та еволюційні алгоритми які містять відбір додаткових хромосом (індивідів) при переході між ітераційними епохами алгоритму. Ще однією особливістю запропонованого алгоритму є використання теоретичних основ кластерного аналізу для оцінки кількості піків у розподілі хромосом. Даний підхід широко використовується у новітніх самоадаптивних алгоритмів для визначення початкових параметрів (гіперпараметрів) складних систем.

Визначення двовимірних нестаціонарних температурних полів у плитах та панелях з плоскопаралельними межами за наявності джерел тепла

Роман Мусій — 2023-11-22

Сформульовано нестаціонарні двовимірні задачі теплопровідності для плит та панелей з плоскопаралельними межами за наявності в них об’ємно розподілених нестаціонарних джерел тепла. Запропоновано методику побудови розв’язку сформульованих задач теплопровідності для розглядуваних тіл. Методика використовує апроксимацію розподілу температури в обох елементах по товщинній змінній кубічним поліномом. Коефіцієнти апроксимаційного полінома подаються через інтегральні по товщинній змінній характеристики температури та умови на крайові значення температури на зовнішніх поверхнях плити та панелі. У результаті вихідні двовимірні початково-крайові задачі на температуру для плити і панелі зведено до одновимірних початково-крайових задач на інтегральні характеристики температури.

Для побудови розв’язку початково-крайової задачі на інтегральні характеристики температури у випадку безмежної по поздовжній і поперечній координатах плити використано інтегральне перетворення Лапласа за часом та інтегральне перетворення Фур’є за поздовжньою координатою. Розв’язок задачі на інтегральні характеристики температури у випадку панелі знайдено з використанням інтегрального перетворення Лапласа за часом і скінченого інтегрального перетворення за поперечною координатою. Вирази інтегральних характеристик температури для плити та панелі отримано у вигляді згорток функцій, що відповідають однорідним розв’язкам початково-крайових задач на інтегральні характеристики температури та функцій, що описують наявні нестаціонарні джерела тепла у цих тілах і задані поверхневі значення температури.

Записано загальні розв’язки двовимірних початково-крайових задач теплопровідності для плити та панелі за наявних в них довільно змінних по просторових координатах нестаціонарних джерел тепла та умов конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем на поверхнях розглядуваних тіл.

Обернена теорема для узагальненої похідної в банахових просторах

Олена Радзієвська — 2023-11-14

Встановлення властивостей апроксимаційних характеристик досліджуваних функцій є однією з основних задач теорії наближень. Якщо, виходячи з інформації про поведінку узагальненої похідної деякої функції f, можна прогнозувати поведінку послідовності найкращих наближень цієї функції поліномами, то тоді йде мова про постановку і доведення прямих теорем теорії наближень.

Якщо ж досліджуються властивості самої функції f Î X і її узагальнених похідних, спираючись на поведінку послідовності найкращих наближень, тобто, встановлюються диференціально-різницеві характеристики функції f на основі вивчення поведінки послідовності її найкращих наближень, то тоді кажуть про доведення обернених теорем теорії наближень.

Дослідження прямих та обернених теорем починається з робіт 1910-1912 років Бернштейна, Валле Пуссена, Джексона та інших. Вони були продовжені багатьма вченими (Н. І. Ахієзер, М. Г. Крейн, Ж. Фавар, Б. В. Стєчкін, С. М. Нікольський, А. Ф. Тіман, А. Зігмунд, В. К. Дзядик, О. І. Степанець). Ще й досі в теорії наближень залишається багато важливих і не розв’язаних задач, зокрема таких, як поширення прямих та обернених теорем на нові класи функцій та встановлення найкращих значень сталих у відповідних нерівностях. При цьому з'являється можливість формулювати нові задачі, зокрема, задачі математичного моделювання вже для цілих класів функцій, які описують досліджувані процеси.

У статті розглядається обернена теорема – за властивостями послідовності найкращих наближень робиться висновок про властивості самого елемента f деякого банахового простору X і його узагальнених похідних, а також встановлюються співвідношення між константами Сеге за різними еквівалентними системами елементів банахового простору

Екстремальні значення найкращих наближень лінійних комбінацій гармонічних функцій

Віктор Сорич — 2023-11-09

Екстремальні задачі та їх практичні застосування знаходилися під пильною увагою математиків з давніх часів. Важливий крок в розвиток екстремальних задач зробив П. Л. Чебишев, який ще у 50-х роках ХIХ століття заклав основи розділу конструктивної теорії функцій – теорії наближення.

Суттєву роль у формуванні теорії наближення функцій відіграла теорема Карла Вейєрштрасса про збіжність до нуля послідовності найкращих наближень многочленами неперервної функції. Як відомо, теорема Вейєрштрасса є неконструктивною – вона не містить оцінок швидкості наближення. Завдяки роботам Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, Валле-Пуссена та ін. такі оцінки стали з’являтися в роботах по теорії наближення.

При цьому на перших етапах розвитку теорії наближення проводилось вивчення наближень окремих функцій. Початок нового періоду, більш глибокого дослідження величин відхилень функцій від їх наближаючих многочленів, відноситься до 30-40-х років ХХ століття і пов’язаний з іменами А. М. Колмогорова, С. М. Нікольського, Ж. Фавара, Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна, Б. Надя. Завдяки їхнім працям основний акцент в теорії наближень зміщується в бік вивчення найкращих наближень чи інших апроксимаційних характеристик для класів функцій, які мають певні диференціально-різницеві чи гладкісні властивості. Зокрема, у 1936 році Ж. Фавар обчислив точні значення найкращих рівномірних наближень тригонометричними многочленами порядку не вищого n – 1 на класах диференційовних 2π-періодичних функцій, r-ті (r – натуральне) похідні яких знаходяться в одиничній сфері простору суттєво обмежених функцій. Питання отримання точних значень найкращих наближень в рівномірній та інтегральній метриках для різноманітних функціональних компактів знаходилось у полі зору багатьох видатних математиків XX сторіччя.

Загальні питання, пов’язані з вивченням функціоналу найкращого наближення: існування многочлена найкращого наближення, його характеристичних властивостей, детально викладені у багатьох монографіях, зокрема, наприклад, в книзі М. П. Корнєйчука [1]. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем (див., напр. [2, розд. ІІІ] був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих сумісних наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром.