Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки

Титульні сторінки

Андрій Гудима — пт, 18 лип 2025 00:00:00 +0000

Відомості про випуск 27

Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому півпросторі

Андрій Громик, Іван Конет, Тетяна Пилипюк — вт, 16 вер 2025 00:00:00 +0000

У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки гіперболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ циліндрично-круговому півпросторі.

Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле), 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле).

Для побудови розв՚язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної φ, інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі (0; +∞) щодо аплікатної змінної z та гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Бесселя на полярній осі (0; +∞) з n точками спряження щодо радіальної змінної.

Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.

Застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді у просторі оригіналів розв’язки розглянутих гіперболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення.

При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді.

Аналіз двовимірних нестаціонарних температурних полів у мідній панелі за її індукційного нагріву

Роман Мусій, Мирослава Клапчук, Олександр Назарук, Валентин Шиндер, Роман Пелех — ср, 28 тра 2025 00:00:00 +0000

Розглянуто електропровідну панель прямокутного перерізу, яка індукційно нагрівається квазіусталеним електромагнітним полем. Внаслідок цього у панелі виникають нестаціонарні об’ємно розподілені джерела тепла Джоуля. Ці джерела створюють нестаціонарний двовимірний розподіл температури по поперечному перерізу панелі. На основах і бічних гранях панелі виконуються умови конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем. Сформульовано нестаціонарну двовимірну задачу теплопровідності для визначення температурного поля у панелі. Розв’язок задачі побудовано з використанням апроксимації розподілу температури по товщинній координаті панелі кубічним поліномом. Коефіцієнти апроксимаційного полінома подаються через інтегральні по товщинній координаті характеристики температури та умови на крайові значення температури на основах і бічних гранях панелі. У результаті вихідні двовимірні початково-крайові задачі на температуру зведено до одновимірних початково-крайових задач на інтегральні характеристики температури.

Розв’язок задач на інтегральні характеристики температури знайдено з використанням інтегрального перетворення Лапласа за часом і скінченого інтегрального перетворення за поперечною координатою панелі. Його отримано у вигляді згорток функцій, що відповідають однорідним розв’язкам початково-крайових задач на інтегральні характеристики температури та функцій, що описують наявні нестаціонарні джерела тепла Джоуля і поверхневі значення температури.

Чисельно проаналізовано температурні режими мідної панелі за її індукційного нагріву однорідним квазіусталеним електромагнітним полем. Розглянуто два характерні режими приповерхневого та суцільного індукційного нагріву панелі. Результати обчислень розподілів температури залежно від параметрів індукційного нагріву та умов теплообміну приведено у вигляді 2D і 3D графіків.

Наближений метод максимальної вірогідності для оцінювання двопорогового процесу Леві. Оцінка збіжності та робота з даними

Сергій Нечипорук — вт, 24 чер 2025 00:00:00 +0000

У роботі представлено підхід до моделювання складних динамічних систем із використанням двопорогового процесу Леві, що дозволяє враховувати зміну властивостей процесу при переході через критичні значення. Запропонована модель поєднує три ключові компоненти: зсув, дифузію та стрибкову складову, які разом забезпечують опис як плавних, так і різких змін у поведінці системи. Важливою характеристикою є поділ процесу на три режими, що надає змогу окремо оцінювати параметри в кожному з діапазонів. Такий підхід підвищує гнучкість моделі та робить її придатною для аналізу процесів зі складною ієрархічною динамікою. Для оцінювання параметрів моделі розроблено алгоритм, що базується на наближеній оцінці максимальної правдоподібності. Він реалізований у вигляді ітераційної процедури, яка на кожному кроці уточнює параметри з урахуванням поточних порогових значень і продовжує обчислення до досягнення збіжності. Алгоритм дозволяє оцінювати параметри зсуву, дифузії та стрибкової компоненти, а також здійснює пошук оптимальних порогів. У рамках дослідження було розроблено методику оцінки параметрів у трьох режимах, побудовано ітераційний алгоритм та створено його програмну реалізацію. Алгоритм перевірявся на синтетично згенерованому наборі даних, що дало змогу оцінити точність відновлення параметрів і дослідити його стійкість до варіацій початкових умов. Окрему увагу приділено аналізу збіжності: за допомогою чисельних експериментів продемонстровано, що на кожному кроці ітераційної процедури функція оновлення параметрів зменшує різницю між їхніми оцінками, що гарантує стабільність процесу оптимізації. Отримані результати підтверджують ефективність запропонованого методу для задач виявлення структурних змін у часових рядах. Запропонований підхід дозволяє не лише відтворювати складні траєкторії процесів, а й локалізувати моменти переходу між режимами з різною динамікою. У перспективі розроблена методика може бути застосована до аналізу даних, що відображають реальні економічні чи фізичні процеси, зокрема фінансових ринків, технічних систем або природних явищ, де спостерігаються порогові зміни та неоднорідності у поведінці. Таким чином, модель двопорогового процесу Леві у поєднанні з ітераційним алгоритмом оцінки параметрів може слугувати універсальним інструментом для дослідження динамічних систем із багатокомпонентною структурою.

Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач із сингулярними нелінійностями

Владислав Пархоменко, Максим Сидоров — чт, 12 чер 2025 00:00:00 +0000

У роботі розглядається знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь методом двобічних наближень.

Розв’язується перша крайова задача, або задача Діріхле. Нелінійність за характером у даному випадку є антимонотонною: вона описується степеневою залежністю з показником від –1 до 0. Після переходу до полярної системи координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку. Розв’язок залежить тільки від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. У такому випадку полюс полярної системи координат стає особливою точкою, в якій виникає необхідність поставити для розв’язку умову обмеженості.

Для крайової задачі знаходиться функція Гріна, після чого задача зводиться до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Це інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проводиться дослідження оператора на наявність таких властивостей, як антимонотонність (антитонність), додатність, обмеженість і псевдоувігнутість.

Наступним етапом є знаходження початкового наближення як кінців сильно інваріантного конусного відрізка для антитонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Далі будуються дві ітераційні послідовності двобічних наближень. Перша послідовність не спадає за конусом, друга послідовність не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес продовжується доти, поки оцінка похибки розв’язку не задовольнить заданій точності.

Теоретичні результати, які були отримані в роботі, було перевірено шляхом обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками

Математичне моделювання розподілу забруднюючих речовин у повітрі від промислового забруднення

Юлія Першина, Артем Ковтун — пн, 09 чер 2025 00:00:00 +0000

Сформульовано крайову задачу для опису процесів перенесення багатокомпонентних забруднювальних речовин у повітрі за наявності точкових джерел. Із використанням концепції локального потенціалу доведено теорему, що дозволяє побудувати алгоритм розв’язання задачі методом скінченних елементів (МСЕ). Вибір методу МСЕ обґрунтовано його ключовими перевагами: МСЕ забезпечує наближене розв’язання у вигляді аналітичного виразу; формалізує процедуру задоволення крайових умов шляхом вибору функціонала, для якого одна або обидві крайові умови є природними; дозволяє будувати апроксимацію навіть у випадках розривних коефіцієнтів або при наявності неоднорідного члена, що містить суму дельта-функцій Дірака.

Додатково розроблено алгоритм розв’язання нелінійної крайової задачі зі змінними коефіцієнтами, яка містить особливість у вигляді суми одиничних дельта-функцій Дірака. Математична модель розподілу забруднюючих речовин над заданою поверхнею враховує ефект початкового розсіювання забрудненого повітря і формулюється як двоточкова крайова задача для системи диференціальних рівнянь, що описують матеріальний баланс органічних забруднювачів у повітрі.

Сформульована математична модель описує процес забруднення повітряних потоків навколо джерела викидів, розташованого на поверхні, що приводить до нелінійної крайової задачі. Розв’язання отримано за допомогою МСЕ, який дозволяє будувати змінні апроксимації у присутності особливостей, зокрема дельта-функцій Дірака. Варіаційну постановку задачі побудовано методом Рітца із включенням концепції локального потенціалу, запропонованої Глансдорфом і Пригожиним.

Застосування байєсівського методу в моделюванні економічних процесів

Олена Радзієвська, Ірина Ковальська — ср, 25 чер 2025 00:00:00 +0000

У сучасному світі дані є одним з найважливіших ресурсів. Здатність ефективно аналізувати їх та робити обґрунтовані висновки стає ключовою. Байєсівські методи, основою яких є теорема Байєса, пропонують потужний та гнучкий інструмент для розв'язання складних проблем, дозволяючи оновлювати початкові уявлення в світлі нових доказів. Методи спираються на поняття апостеріорної ймовірності та використання формули Байєса, а ймовірність Байєса розглядається, як ступінь впевненості у відповідній події.

Теорема Байєса, по суті, є формалізацією того, як можна вчитися на досвіді. Вона надає математичний апарат для об'єднання попередніх знань (або «апріорних» переконань) з даними, отриманими з реального світу, для формування більш точних і надійних «апостеріорних» висновків. Це робить байєсівські методи особливо цінними в сферах, де невизначеність є невід'ємною частиною процесу, а також там, де потрібно приймати рішення в умовах обмеженої інформації.

У статті з допомогою теореми Байєса моделюється апостеріорна функція щільності розподілу ймовірностей деякого параметра – невідомого математичного сподівання (наприклад, середнього відсотку зростання прибутку домогосподарств в даній місцевості). Нехай з попередніх досліджень відомий середній відсоток зростання прибутку. Якщо випадковим чином отримати вибірку з n домогосподарств, тобто випадкову вибірку x з генеральної сукупності, яка, припустимо, має нормальний розподіл з невідомим математичним сподіванням і відомою дисперсією, то можна знайти апостеріорну функцію щільності розподілу ймовірностей цього параметра, Для дослідження прибутку у відсотках домогосподарств за перший квартал відбирається випадкова вибірка з 10 домогосподарств.

У результаті показано, що поєднання додаткової інформації, яка міститься лише в десяти незалежних спостереженнях, з апріорною інформацією призвело до значного зниження невизначеності припущення щодо параметра математичного сподівання.

Огляд методів інтерстріпації у формі Лагранжа наближення неперервних функцій двох змінних

Олексій Славік — пт, 30 тра 2025 00:00:00 +0000

У статті представлено огляд сучасних підходів до побудови та дослідження нових інформаційних операторів О. М. Литвина для функцій, інформація про які відома лише на певній системі смуг та особливості їх застосування для неперервних функцій двох змінних. Для апроксимації значень двовимірних неперервних функцій наведено інформаційні оператори поліноміальної інтерстріпації у формі Лагранжа для функцій, інформація про які відома на певній системі смуг спеціального виду. Такі проблеми часто виникають під час обробки даних дистанційного зондування планети, аеророзвідки тощо. У цій роботі представлено основні поняття сліду функції на смузі, сліду функції на прямій. На основі цих визначень наведено оператори інтерстріпації для смуг, межі яких паралельні координатним осям. Розглянуто поліноміальні оператори інтерстріпації Лагранжа для апроксимації значень між неперетинними смугами, межі яких паралельні одна одній та паралельні осі Ox, поліноміальні оператори інтерстріпації Лагранжа для апроксимації значень між неперетинними смугами, межі яких паралельні осі Oy, та поліноміальні оператори інтерстріпації Лагранжа для апроксимації значень між перетинними смугами, межі яких паралельні осям координат. Проведено серію обчислювальних експериментів для відновлення значень функції між різними системами смуг, за допомогою запропонованих інформаційних операторів інтерстріпації у формі Лагранжа. Оператори інтерстріпації, як і інші інформаційні оператори О. М. Литвина, використовуються в різних галузях науки і техніки. Оператори інтерстріпації можуть бути використані при обробці даних дистанційного зондування планети, аеророзвідки, радіолокаційної локації за допомогою радарів бокового огляду тощо. Крім того, у подальших дослідженнях, пов'язаних з інформаційними операторами інтерстріпації, перспективним напрямком є їх застосування в різних алгоритмах обробки зображень

Існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду та методи його комп’ютерного моделювання

Ігор Юрченко, Володимир Ясинський — чт, 12 чер 2025 00:00:00 +0000

У статті досліджується задача Коші для стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду, яке описує динамічні процеси з пам’яттю під впливом випадкових збурень. Зокрема, вивчаються математичні умови, що гарантують існування та єдиність розв’язку такого рівняння. Теоретичні результати базуються на сучасному апараті стохастичного аналізу та функціонального диференціального числення.

Оскільки розв’язання подібних рівнянь у загальному випадку не може бути отримано аналітично, у роботі розглянуто підходи до їх наближеного чисельного розв’язання. Описано дискретизацію простору та часу, а також способи апроксимації функціональних членів рівняння з використанням буфера пам’яті. Розглянуто реалізацію шумового впливу через додавання просторово-часового стохастичного збурення, змодельованого на основі вінерового процесу.

Для перевірки теоретичних результатів і практичної ілюстрації динаміки процесів з пам’яттю розроблено комп’ютерну програму на мові Python, яка реалізує алгоритм розв’язання з використанням методу наближених обчислень Ейлера-Маруями. Розглянуто рівняння, що описує еволюцію системи з урахуванням просторового поширення (дифузії), згасання, впливу історії станів (ефект пам’яті) та випадкових збурень (шуму). Для наближеного розв’язання цього рівняння використовується дискретизація простору і часу та апроксимація інтегралу пам’яті як середнього по буферу попередніх значень. Побудовано графічну візуалізацію зміни стану системи в просторі та часі та теплову карту (heatmap), яка показує, як «розливається» і коливається функція u(t, x) у просторі та часі під впливом пам’яті та шуму. Отримані результати мають перспективу подальшого використання в теорії та практиці комп’ютерного моделювання складних динамічних систем з ефектами пам’яті та стохастичними збуреннями. Зокрема, розроблені підходи можуть бути застосовані до моделювання процесів у фізиці (теплопровідність із запізненням, дифузія в середовищах зі структурною пам’яттю), біології та екології (розповсюдження популяцій або інфекцій з інкубаційними періодами), фінансовій математиці (волатильність із залежністю від минулих станів), а також у технічних та інформаційних системах керування зі стохастичними впливами й запізненням сигналу.