Обґрунтування методу усереднення для нелокальної m-частотної задачі із лінійно перетвореними аргументами

Анотація

Досліджено систему диференціальних рівнянь із запізненням на скінченному проміжку із повільними та швидкими змінними. Запізнення в системі характеризується лінійно перетвореними аргу­мен­тами у повільних і в швид­ких змінних. Для повільних і швидких змінних задано інтегральні умови. Характерною особливістю таких систем є поява резонансів у процесі еволюції. Умова резонансу в системі містить залежність від запізнень у швидких змінних.

Ефективним методом дослідження багаточастотних систем є метод усереднення, обґрунтування якого для систем без запізнення аргументу отримано в працях В.І. Арнольда, Є. О. Гребенікова, М. М. Хапаєва, А. М. Самойленка, Р. І. Пет­ришина. У даній роботі використано методику, запропоновану А. М. Самойленком, яка ґрунту­ється на оцінці осциляційних інтегралів. У даній роботі процедура усереднення за швидкими змінними здійснена як у системі рівнянь, так і в інтегральних умовах. В усередненій задачі змінні відокремлені й задача для повільних змінних розв’язується незалежно від швидких змінних. Знаходження швидких змінних зводиться до задачі інтег­рування.

Побудовано приклад одночастотної системи з інтегральними умовами, на якому проілюстровано отриманий результат, одержано оцінки похибки та величини малого параметра.Доведено існування єдиного розвитку задачі в класі непе­рервно-диференційованих функцій. Отримано оцінку похибки методу усереднення, яка явно залежить від малого параметра та кількості швидких змінних і лінійно перетворених аргументів у них. Також знайдено оцінку величини малого параметра. Умова проходження резонансних зон зводиться до перевірки відмінності від нуля визначника Вронського, побудованого системою частот із врахуванням кількості лінійно перетворених аргументів.