Умови екстремальності допустимого елемента для задачі найкращого у розумінні квадрата норми одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору

Анотація

Важливий клас теорії наближення утворюють задачі найкращого одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору.

Задача найкращого одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору полягає у відшуканні в заданій множині цього простору такої точки, максимальна відстань до якої від кожної з кількох фіксованих точок простору була б найменшою, тобто не перевищувала максимальної відстані від кожної з кількох точок до будь-якої іншої точки цієї множини.

Виникають задачі, зокрема задачі теорії апроксимації, в яких відхилення між фіксованими елементами лінійного нормованого простору та елементами апроксимуючої множини визначаються, так званими, «викривленими» метриками (зваженими нормами, переднормами, сублінійними функціоналами, опуклими функціоналами тощо).

Так, зокрема, у праці [1] встановлено критерій екстремальності допустимого елемента для задачі найкращого у розумінні зважених відстаней одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору; у праці [2] встановлено умови екстремальності допустимого елемента для задачі найкращого одночасного наближення кількох елементів деякого полінормованого простору множиною цього простору; у праці [3] доведено критерій екстремальності допустимого елемента для задачі найкращого у розумінні переднорми наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору; у праці [4] встановлено умови існування екстремального елемента узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі, в якій відхилення між елементами визначаються за допомогою сублінійних функціоналів; у праці [5] встановлено умови екстремальності допустимого елемента для задачі відшукання узагальненого чебишовського центра кількох замкнених куль деякого полінормованого простору відносно множини цього простору.

З єдиних позицій задачі найкращої одночасної апроксимації кількох елементів лінійного нормованого простору опуклими множинами цього простору розглядаються у працях [6, 7].

Якщо в задачі найкращого одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору, в якій відстані між точками визначаються нормою простору, норму замінити на квадрат норми, то отримаємо задачу найкращого у розумінні квадрата норми одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору, яка розглядається в цій роботі.