Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з сингулярною степеневою нелінійністю

Анотація

У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного диференціального рівняння з оператором Гельмгольца та сингулярною степеневою нелінійністю.

Задача розглядається у круговій області з однорідною умовою Діріхле на межі. Нелінійність носить антимонотонний характер і описується степеневою залежністю, де показник степеню набуває значень від –1 до 0. Шляхом переходу до полярних координат і з урахуванням того, що розв’язок має аксіальну симетрію (тобто залежність від кута повороту відсутня, а наявна лише залежність від відстані до центру круга), одержано крайову задачу для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. При цьому полюс полярної системи координат є особливою точкою цього рівняння, і тоді постає необхідність у накладанні на розв’язок умови обмеженості в цій точці.

Для задачі будується функція Гріна з подальшим зведенням до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, що розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Досліджено властивості відповідного інтегрального оператора такі, як антимонотонність (антитонність), додатність, обмеженість і псевдоувігнутість.

Наступним етапом дослідження є знаходження кінців сильно інваріантного конусного відрізка, що є початковими наближеннями для ітераційного процесу. Після цього здійснюється побудова двох паралельних ітераційних процесів. Перша ітераційна послідовність є неспадною за конусом (послідовність нижніх наближень), а друга – незростаючою за конусом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень. Таким чином, на кожному кроці ітераційного процесу одержується апостеріорна оцінка похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного аксіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.

Теоретичні результати, отримані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів рівняння, що наведено на відповідних графіках.