Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій

Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows

Анотація

У роботі розглядається плоскопаралельна течія в’язкої нестисливої рідини в обмеженій однозв’язній області з кусково-гладкою межею. Такі дослідження є актуальними як з точки зору розвитку теоретичних методів гідродинаміки та математичної фізики, так і для розв’язання широкого кола прикладних задач сучасної науки і техніки. При аналізі плоскопаралельних течій від системи Нав’є-Стокса у природних змінних зручно переходити до задачі відносно функції течії. Функція течії пов’язана з вектором швидкостей і вводиться так, щоб тотожно задовільнити рівняння неперервності, а також щоб перехресним диференціюванням виключити у вихідних рівняннях тиск. Математичною моделлю розглядуваного процесу є нелінійна крайова задача з еліптичним рівнянням четвертого порядку для функції течії. Для її чисельного аналізу запропоновано використати метод R-функцій з апроксимацією невизначеної компоненти нелінійним методом Гальоркіна. Використання методів R-функцій та Гальоркіна дозволило отримати наближений розв’язок задачі у чисельно-аналітичному вигляді (що спрощує процедуру знаходження різних характеристик течії, зокрема, поля швидкостей, завихореності та тиску) і дозволило точно врахувати у чисельному алгоритмі геометрію області та крайові умови задачі.

Обчислювальний експеримент було проведено у одиничному квадраті для різних чисел Рейнольдса. Результати наведено у вигляді ліній рівня функції течії, завохореності, тиску та векторного поля швидкості, а також у вигляді таблиць з порівнянням числових характеристик течії для різних значень чисел Рейнольдса. Отримані результати добре узгоджуються з результатами фізичних експериментів та з числовими результатами, відомими з літератури.