Застосування математики функціональних інтервалів для розв’язування деяких типів загальної початкової задачі

Анотація

У роботі запропонована методика розв’язування загальної початкової задачі та ітераційні алгоритми побудови двосторонніх апроксимацій на основі математики функціональних інтервалів розв’язування початкової задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та деяких видів інтегральних рівнянь. Розв’язки таких задач отримані у вигляді функціональних інтервалів. Адаптивний вибір довжини кроку в цих алгоритмах автоматично реагує на ступінь нелінійності задачі. Доведено, що функційні рівняння, інтегральні рівняння, задача Коші є частинними випадками загальної початкової задачі. Грунтуючись на понятті функції, її похідної, дотичної запропоновано основний принцип розвитку функціональної залежності, принцип узгодженості прямого і зворотного розвитку функціональної залежності з протилежних кінців проміжку інтегрування функціонального інтервалу функції та функціональних інтервалів її похідних. Показано, що функціональну залежність можна крім табличного, та аналітичного зображення подати ще і у таблично-аналітичному вигляді. Доведені в роботі леми та теореми дають можливість аналізувати та усувати різноманітні невизначеності, пов’язані з неперервно диференційовними функціями.

Запропонована у цiй роботi методика розв’язування загальної початкової задачі та ітераційні алгоритми побудови двосторонніх апроксимацій основі математики функціональних інтервалів поєднує iдею двостороннiх наближень iз математичним апаратом функцiональних iнтервалiв. Адаптивний вибiр довжини кроку в цих алгоритмах автоматично реагує на ступiнь нелiнiйностi задачi, а квадратична збiжнiсть ширини функціонального інтервала розв’язку задачі  забезпечує ефективне звуження невизначеностi розв’язку на кожнiй iтерацiї.