Обчислення подвійних інтегралів від осцильованих експоненціальних функцій за даними на лініях

Анотація

Сучасне математичне моделювання фізичних та технічних процесів наразі передбачає розв’язання проблеми обробки й аналізу функцій декількох змінних, значення яких відомі на системах ліній. Така задача є актуальною в цифровій обробці зображень оскільки значна частина інформації про досліджуваний об’єкт може надходити у вигляді вимірювань уздовж окремих напрямів або ліній, що є характерним для томографічних методів, дистанційного зондування та систем візуалізації. У межах розв’язання таких задач значний інтерес становить проблема чисельного інтегрування осцильованих функцій на основі даних на системі ліній. Однією з підзадач цієї проблеми є інтегрування осцильованих експоненціальних функцій декількох змінних.

Дослідження в статті присвячено чисельному інтегруванню осцильованих експоненціальних функцій двох змінних. Наведено кубатурну формулу наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Кубатурна формула в своїй побудові в якості даних про функцію використовує сліди на взаємно перпендикулярних лініях. На класі Гельдера та Ліпшиця представлено оцінки похибки наближення.

В роботі багато уваги приділено тестуванню кубатурної формули наближеного обчислення подвійних інтегралів від осцильованої експоненти. Отримані результати дозволяють підтвердити теоретичні оцінки похибки на класі Гельдера та Ліпшиця.

В чисельному експерименті в якості тестової функції використано томографічний фантом еліптичної форми. Обрана тестова функція має важливу властивість: відповідний інтеграл від такої функції має аналітичне представлення, що дозволяє отримати коректні еталонні значення інтегралу.

В роботі проведено детальний аналіз впливу параметра осциляції ω та розбиття ℓ на точність чисельного інтегрування осцильованих експоненціальних функцій двох змінних.