Алгоритми розв’язування нелінійних задач на сітках із параметром золотого перерізу

Анотація

Досліджені властивості степенів і многочленів з параметром золотого перерізу. Важливою задачею в теорії інтерполяційних многочленів є згладжування кубічних многочленів однієї змінної у точках з’єднання. Запропоновано згладжування виконувати на періодичних сітках з параметром золотого перерізу. Для мінімізації функції двох і трьох змінних побудовані кубічні многочлени, відповідно, на десяти-, двадцяти- точкових шаблонах. Системи лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів многочленів, відповідно, 10-го, 20-го порядків розкладаються на підсистеми третього порядку.

Обґрунтовано, що між порядком інтерполяційних кубічних многочленів двох і трьох змінних і розмірністю сіток з параметром золотого перерізу існує оптимальна узгодженість, яка приводить до високої швидкості обчислення коефіцієнтів, мінімізації похибки обчислень.

Побудовані методи розв’язування нелінійних рівнянь однієї змінної і системи нелінійних рівнянь з неперервними функціями, які засновані на принципі, що дослідження нелінійної задачі може дати більш точний і за меншу кількість кроків розв’язок, ніж ітераційне розв’язання лінійної моделі цієї задачі. Оскільки розв’язання нелінійної задачі на заданій неперервній області, як правило, аналітично не можливе, то необхідно перейти від неперервної моделі до дискретної на симетричних сітках з параметром золотого перерізу. Швидке стиснення таких областей з мінімальним числом значень функції виконується шляхом розбиття області задання на 3ⁿ підобластей у просторі Rⁿ, n ≥ 2. Основною задачею є задача визначення тієї підобласті розбиття, яка містить розв’язок системи нелінійних рівнянь і яка розв’язується методом точки рівноваги, який не потребує застосування диференціального числення. Швидкість збіжності визначається параметром золотого перерізу і відповідає експоненційній швидкості збіжності