Нестаціонарний колокаційно-ітеративний метод побудови наближених розв’язків інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю

Анотація

Інтегро-функціональні рівняння займають важливе місце у математичному моделюванні широкого спектра прикладних і міждисциплінарних задач, зокрема тих, що пов’язані з динамічними системами із запізненням та відхиленням аргументу. До таких рівнянь зводяться крайові та початкові задачі для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу, як і з запізненням, так і нейтрального типу. При цьому відхилення аргументу може бути як сталою, так і змінною величиною. Наявність навіть малої нелінійності у подібних моделях істотно ускладнює аналіз існування, єдиності, стійкості та асимптотичної поведінки їхніх розв’язків, що обумовлює необхідність розробки нових та вдосконалення вже існуючих наближених методів їх дослідження.

Одним із підходів до побудови наближених розв’язків інтегро-функціональних рівнянь є проєкційно-ітеративний метод, окремим випадком якого виступає колокаційно-ітеративний метод. Суттєвою перевагою колокаційно-ітеративного методу над загальною схемою проєкційно-ітеративного методу є суттєве спрощення обчислювального процесу, оскільки на кожному ітераційному кроці замість обчислення інтегралів від нев’язки використовуються лише її значення у вузлах колокації. Частковим, більш простішим з обчислювальної точки зору є нестаціонарний колокаційно-ітеративний метод.

У роботі досліджено питання застосування нестаціонароного колокаційно-ітеративного методу до одного класу інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю. Приведено достатні умови збіжності цього методу. Отримані результати можуть бути використані для розв’язування задач прикладної математики, механіки, теорії керування та інформаційних технологій, де моделі описуються рівняннями з відхиленням аргументу.