Критерій еквівалентності матриць показників

Анотація

У статті встановлено критерій еквівалентності зведених матриць показників у термінах зважених допустимих сагайдаків. Матриці показників природно виникають у теорії черепичних порядків над дискретно нормованими кільцями та визначають низку структурних властивостей таких порядків, зокрема їхні сагайдаки. Тому задача розпізнавання еквівалентності двох зведених матриць показників є важливою як для класифікації алгебраїчних об’єктів, так і для порівняння пов’язаних із ними графових моделей.

Доведено, що дві зведені матриці показників є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли їхні допустимі сагайдаки ізоморфні, а ваги відповідних простих циклів збігаються. Цей результат посилює відомі необхідні інваріанти еквівалентності, зокрема рівність сум елементів матриць та ізоморфізм сагайдаків, які самі по собі не є достатніми. Запропонований критерій сформульовано мовою вагових функцій і ваг циклів, що робить його зручним для комбінаторного та графо-теоретичного аналізу алгебраїчних даних.

З погляду математичного моделювання матрицю показників можна інтерпретувати як цілочислову модель напрямлених відстаней, що задовольняє обмеження трикутникового типу. У такій інтерпретації елементарні перетворення зберігають ваги циклів і відповідають калібрувальним змінам вершинних потенціалів. Отже, отриманий критерій можна використовувати для виявлення еквівалентних зважених орієнтованих графових моделей, усунення надлишкових представлень в алгебраїчному моделюванні та порівняння дискретних структур, суттєві інваріанти яких кодуються напрямленими циклами. Зокрема, результат дає практичний тест для порівняння таких представлень без реконструкції відповідних черепичних порядків.