Модифікація базового двостороннього методу розв’язування інтегральних рівнянь

Анотація

В роботі розглядається задача побудови гарантованих двосторонніх наближень розв’язку інтегральних рівнянь певних класів. Класичні методи, як правило, дають лише наближення розв’язку в окремих точках, а в інших точках – загальні теоретичні апроксимації без строгих оцінок похибки, тоді як для задач із невизначеністю параметрів або початкових умов принципово важливо отримати верхню та нижню межі, між якими гарантовано міститься шуканий розв’язок. Класичні інтервальні методи розв’язування таких рівнянь на основі інтервальних аналогів рядів Тейлора потребують автоматичного диференціювання високих порядків та характеризуються накопиченням похибки на великих проміжках, що суттєво ускладнює їх практичне застосування. У [1] запропоновано ітераційний двосторонній алгоритм розв’язування рівнянь зазначеного виду на основі математики функціональних інтервалів із квадратичною збіжністю, у якому, однак, вибір довжини інтервалу, що забезпечує задану точність, та число ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку визначаються неявно. У цій роботі доведено теорему, що дає оцінку функціональної невизначеності двосторонньої апроксимації на правій межі інтервалу, явний вираз кроку розбиття, який забезпечує задану точність апроксимації за одну побудову, та логарифмічну оцінку кількості ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку на заданому проміжку базовим алгоритмом з [1]. На основі доведеної теореми запропоновано модифікований алгоритм, який забезпечує бажане звуження двосторонньої апроксимації шуканого розв’язку за один крок. Алгоритм апробовано двома числовими експериментами, результати яких підтверджують теоретичні висновки. Це суттєво зменшує число ітерацій алгоритму.