Ультра матриці показників

Анотація

У статті досліджено ультра матриці показників, тобто зведені матриці показників, для яких звичайна трикутникова нерівність посилюється до нерівності ультраметричного типу. Доведено, що кожна ультра матриця показників є матрицею показників, а кожна матриця показників з елементами з множини {0, 1} є ультра матрицею показників. Проаналізовано поведінку таких матриць відносно елементарних перетворень: перетворення першого типу загалом не зберігає ультравластивість, тоді як одночасна перестановка рядків і стовпців її зберігає. Показано, що сагайдак, одержаний зі зведеної ультра матриці показників, яка має хоча б один елемент, більший за одиницю, не є жорстким. Наведено контрприклад, який показує, що не кожний допустимий сагайдак із петлею в кожній вершині може бути одержаний з ультра матриці показників. Також встановлено низку структурних характеристик: описано монотонні деформації, які не змінюють відповідний сагайдак, фільтраційну характеристику через транзитивні порогові відношення, зв'язок 0-1 ультра матриць із частковими порядками, мінімаксну інтерпретацію та замкненість класу ультра матриць відносно покомпонентного максимуму. З погляду математичного моделювання ультра матриці показників можна розглядати як дискретні моделі напрямлених відстаней із обмеженнями вузького місця, де значення переходу визначається найсильнішим обмеженням на допустимих шляхах, а не сумарною вартістю. Це дає змогу застосовувати їх до моделювання ієрархічних систем, пріоритетних відношень, мінімаксної оптимізації, обмежених мережевих потоків, кластеризаційних структур та алгебраїчних або комбінаторних моделей, інформація яких кодується допустимими зваженими сагайдаками. Одержані результати дають інструменти для порівняння таких моделей і усунення надлишкових представлень без втрати напрямленої структури.