Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем

Анотація

У статті досліджено крайову задачу для напівлінійного диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний прогин балки в мікроелектромеханічних системах (МЕМС). На відміну від попередніх досліджень, де розглядалися лише класичні умови жорсткого закріплення та шарнірного обпирання, у роботі досліджено шість типів крайових умов: обидва кінці балки жорстко закріплені, обидва кінці балки шарнірно обперті, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – вільний, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – «ковзає», лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – шарнірно опертий, лівий кінець балки шарнірно опертий, правий – «ковзає». Розглянуті конфігурації охоплюють основні конструктивні схеми сучасних МЕМС-пристроїв – від мікроперемикачів і резонаторів до зондів атомно-силових мікроскопів, мікродзеркал та п’єзоелектричних збирачів енергії.

Для дослідження зазначених задач застосовано метод двобічних наближень, побудований у напівупорядкованому банаховому просторі неперервних функцій. Вихідну крайову задачу зведено до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна з ізотонним оператором, ядром якого є відповідна функція Гріна. Для кожного з шести типів закріплення кінців балки побудовано функцію Гріна та обчислено максимальний безрозмірний прогин балки під дією одиничного рівномірно розподіленого навантаження. На основі ізотонності інтегрального оператора побудовано інваріантний конусний відрізок та сформульовано теорему про існування й єдиність додатного розв’язку крайової задачі, до якого двобічно збігається ітераційний процес.

Проведено обчислювальний експеримент при значеннях параметрів реального МЕМС-актюатора. Для кожного типу закріплення обчислено найбільше значення прикладеної напруги, при якому виконуються достатні умови збіжності методу, побудовано наближені розв’язки. Встановлено впорядкування шести типів закріплення кінців балки за величиною, що дає кількісну основу для вибору оптимального типу закріплення кінців балки при проєктуванні МЕМС-пристроїв з різними робочими характеристиками.

Новизна роботи полягає в розвитку методу двобічних наближень в частині його застосування до крайових задач з набором шести фізично значущих типів крайових умов. Це дозволяє для кожної конфігурації отримати верифіковані наближення прогину з апріорними двосторонніми оцінками в межах конструктивно встановленого безпечного робочого діапазону прикладеної напруги. Отримані результати можуть бути безпосередньо застосовні при проєктуванні мікроперемикачів, мікрорезонаторів, сенсорів, мікродзеркал та п’єзоелектричних мікроактюаторів. Розроблена схема методу може бути поширена на узагальнення моделі – змінну діелектричну проникність, часткове електростатичне навантаження, нелінійності іншого вигляду, а також (у комбінації з методом Роте) на нестаціонарний випадок.