Дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна

Анотація

У роботі розглядається перша крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння, яка є математичною моделлю деякого термохімічного процесу. При цьому розглянуто класичну задачу Брату і два її узагальнення, що враховують як втрати тепла через охолодження, так і зовнішній підігрів. Експоненціальна нелінійність в рівняннях відповідає наближенню закону Арреніуса за Франк-Каменецьким.

Методом функцій Гріна кожна з розглянутих задач замінена еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна, яке проаналізовано методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Для цього інтегральне рівняння подане як рівняння з нелінійним оператором, який діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Оператор досліджено на додатність, монотонність, ліпшіц-неперервність, існування інваріантного конусного відрізка тощо.

Для чисельного аналізу цих інтегральних рівнянь (а отже, і розглядуваних крайових задач) запропоновано ітераційні схеми методу двобічних наближень. Початковими наближеннями цих схем обираються кінці інваріантного конусного відрізка. Для кожної зі схем отримано умови збіжності і умови існування додатних розв’язків відповідних крайових задач. Також для цих розв’язків отримано двосторонні апріорні оцінки.

Обчислювальні експерименти були проведені для різних значень параметрів і у випадку задачі Брату результати порівняно з точним розв’язком. За підсумками аналізу зроблено висновки про ефективність запропонованих обчислювальних схем. Зокрема, їх перевагою є наявність гарантованої апостеріорної оцінки точності наближеного розв’язку та зручний критерій закінчення ітерацій.

Отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво- та тривимірні математичні моделі термохімічних процесів з експоненціальними нелінійностями.