Аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса

Анотація

У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реакційно-дифузійної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса.

Задачі розглядається у сферичній області з неоднорідною першою крайовою умовою на межі, яка після заміни перетворюється на однорідну. Нелінійність подана у вигляді добутку лінійної та експоненціальної функцій. Після переходу до сферичної системи координат з урахуванням радіальної симетрії (розв’язок залежить лише від відстані до центру кулі, а від кутів повороту залежність відсутня), прийшли до крайової задачі для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Оскільки полюс сферичної системи координат є особливою точкою одержаного рівняння, необхідно поставити умову обмеженості розв’язку в цій точці.

Для задачі здійснюється побудова функції Гріна, далі виконується зведення до еквівалентного інтегрального рівняння, яке розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проведено дослідження властивостей відповідного інтегрального оператора такі, як гетеротонність та додатність.

Далі здійснюється пошук кінців сильно інваріантного конусного відрізка, які виступають початковими наближеннями для ітераційного процесу. Потім будуються два ітераційні процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (послідовність нижніх наближень), друга – не зростає за конусом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень, що надає можливість одержати на кожному кроці ітераційного процесу апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного радіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.

Теоретичні результати, одержані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Результати обчислювального експерименту подано у графічному вигляді.