Метод двобічних наближень у чисельному аналізі задачі Нав’є, що є математичною моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи

Анотація

У статті розглядається крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння четвертого порядку (задача Нав’є), що описує статичний прогин мікробалки в мікроелектромеханічних системах під дією електростатичних сил. В основі дослідження цієї задачі лежить її зведення до еквівалентного інтегрального рівняння або системи інтегральних рівнянь Гаммерштейна, які аналізуються методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах.

Першим способом від вихідної крайової задачі здійснено перехід до інтегрального рівняння Гаммерштейна шляхом побудови функції Гріна звичайного диференціального оператора четвертого порядку з умовами Нав’є. У другий спосіб спочатку здійснено перехід до першої крайової задачі для системи звичайних напівлінійних рівнянь з наступною її заміною системою рівнянь Гаммерштейна. При цьому використовуються функції Гріна звичайних диференціальних операторів другого порядку з першими крайовими умовами. Досліджено властивості нелінійних операторів, що відповідають отриманим рівнянню і системі рівнянь. Зокрема, встановлено, що кожен з цих операторів є додатним, ізотонним, ліпшіц-неперервним, неперервним та цілком неперервним.

Запропоновано дві схеми методу двобічних наближень. Вибір саме цього методу обґрунтовується тим, що він дозволяє не лише будувати наближений розв’язок, а й дозволяє теоретично встановлювати умови його існування та єдиності. Також перевагою методу двобічних наближень є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки.

Отримано умови збіжності кожної з запропонованих схем до єдиного на інваріантному конусному відрізку розв’язку вихідної крайової задачі. Для аналізу ефективності алгоритмів проведено низку обчислювальних експериментів для різних значень параметрів задачі. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів та надано практичні рекомендації