Про поширення кореляцій в квантових системах в наближенні самоузгодженого поля

Віктор Іванович Герасименко, Вікторія Валеріївна Кречко

Анотація


Розглянуто проблему строгого опису процесу поширення кореляцій початкових станів квантових систем багатьох частинок, які взаємодіють через обмежений потенціал взаємодії та задовольняють статистику Максвелла-Больцмана, в скейлінговій границі самоузгодженого поля на основі асимптотичної поведінки непертурбативного розв'язку задачі Коші для ієрархії квантових рівнянь ББҐКІ (Боголюбов – Борн - Ґрiн - Кiрквуд - Iвон). А саме, досліджено розв'язок задачі Коші для ієрархії квантових рівнянь Власова для послідовністі граничних маргінальних операторів густини, у випадку початкових станів, які описуються одночастинковим оператором густини з простору ядерних операторів та обмеженими операторами, якими характеризуються кореляції станів. 

Побудовано явний вигляд послідовності граничних маргінальних операторів густини, якою описується стан системи в такому наближенні, а саме, встановлено, що стан системи описується за допомогою граничного одночастинкового оператора густини, який є розв’язком задачі Коші для квантового кінетичного рівняння Власова з початковими кореляціями немарковського типу. Для чистих станів сформульоване кінетичне рівняння еквівалентно кінетичному рівнянню Хартрі з початковими кореляціями, зокрема, якими характеризуються конденсовані стани квантових систем багатьох частинок. Для початкових станів системи статистично незалежних квантових частинок кінетичне рівняння Власова з початковими кореляціями є квантовим кінетичним рівнянням Власова, а послідовність граничних маргінальних операторів густини в цьому випадку описує процес поширення початкового хаосу.


Повний текст:

PDF

Посилання


Pezzotti F. Mean-field limit and semiclassical expansion of quantum particle system / F. Pezzotti, M. Pulvirenti // Ann. Henri Poincaré. — 2009. — Vol. 10. — P. 145–187.

Erdös L. Quantum dynamics with mean field interactions: a new approach / L. Erdös, B. Schlein // J. Stat. Phys. — 2009. — Vol. 134 (5). — P. 859–870.

Mean field evolution of fermions with Coulomb interaction / M. Porta, S. Rademacher, C. Saffirio, B. Schlein // J. Stat. Phys. — 2017. — Vol. 166 (6). — P. 1345–1364.

Golse F. The Schrödinger equation in the mean-field and semiclassical regime / F. Golse, T. Paul // Arch. Rational Mech. Anal. — 2017. — Vol. 223. — P. 57–94.

Golse F. On the dynamics of large particle systems in the mean field limit / F. Golse // Lect. Notes Appl. Math. Mech. — Vol. 3. — P. 1–144 In: Macroscopic and large scale phenomena: coarse graining, mean field limits and ergodicity. Springer. — 2016.

Benedikter N. Effective Evolution Equations from Quantum Dynamics / N. Benedikter, M. Porta, B. Schlein // Springer Briefs in Mathematical Physics. Springer. — 2016. — 125 p.

Erdös L. Derivation of the cubic nonlinear Schrödinger equation from quantum dynamics of many-body systems / L. Erdös, B. Schlein, H.-T. Yau // Invent. Math. — 2007. — Vol. 167. — P. 515–614.

Erdös L. Derivation of the Gross–Pitaevskii equation for the dynamics of Bose–Einstein condensate / L. Erdös, B. Schlein, H.-T. Yau // Ann. of Math. — 2010. — Vol. 172. — P. 291–370.

Benedikter N. Quantitative derivation of the Gross–Pitaevskii equation / N. Benedikter, G. Oliveira, B. Schlein // Comm. Pure. Appl. Math. — 2015. — Vol. 68. — P. 1399–1482.

Boccato C. Quantum many-body fluctuations around nonlinear Schrödinger dynamics / C. Boccato, S. Cenatiempo, B. Schlein // Ann. Henri Poincaré. — 2017. — Vol. 18 (1). — P. 113–191.

Боголюбов М. М. Лекції з квантової статистики. Питання статистичної механіки квантових систем / М. М. Боголюбов. — К. : Рад. школа, 1949. — 228 с.

Petrina D. Ya. Mathematical Foundations of Quantum Statistical Mechanics. Continuous Systems / D. Ya. Petrina. — Kluwer Acad. Publ., 1995. — 457 p.

Gerasimenko V. I. Hierarchies of quantum evolution equations and dynamics of many-particle correlations / V. I. Gerasimenko // Statistical Mechanics and Ran-dom Walks: Principles, Processes and Applications. — N.Y. : Nova Science Publ., Inc., 2013. — P. 233–288.

Gerasimenko V. I. Initial-value problem of the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles / V. I. Gerasimenko, V. O. Shtyk // Ukrain. Math. J. — 2006. — Vol. 58 (9). — P. 1175–1191.

Gerasimenko V. I. On non-perturbative solution of quantum BBGKY hierarchy / V. I. Gerasimenko, V. V. Krechko // Proc. Inst. Math. NASU. — 2016. — Vol. 13 (2). — P. 7–26.

Gerasimenko V. I. On quantum kinetic equations of many-particle systems in condensed states / V. I. Gerasimenko, Zh. A. Tsvir // Physica A: Stat. Mech. Appl. — 2012. — Vol. 391 (24). — P. 6362–6366.

Gerasimenko V. I. New approach to derivation of quantum kinetic equations with initial correlations / V. I. Gerasimenko // Carpathian Math. Publ. — 2015. — Vol. 7 (1). — P. 38–48.

Gerasimenko V. I. The evolution of correlation operators of large particle quantum systems / V. I. Gerasimenko // Methods Funct. Anal. Topology. — 2017. — Vol. 23 (2). — P. 123–132.