Дослідження на сумісність та відшукання наближених розв’язків інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю та обмеженнями

Катерина Григорівна Геселева

Анотація


У статті досліджується задача на сумісність одного типу інтегро-функціонального рівняння з малою не лінійністю та додатковими умовами (обмеженнями), коли оператор внутрішньої суперпозиції знаходиться в підінтегральному виразі інтегрального оператора. Приведена задача є важлива в зв’язку з тим, що до неї зводиться крайова задача для диференціального рівняння з відхиленням аргументу із запізненням та додатковими умовами. Показано, що в частковому випадку, коли h(x) = x – Δ, отримується випадок сталого запізнення.

Крім основної задачі, в якій досліджується узгодженість шуканого розв’язку з додатковими умовами, також розглянуто допоміжну задачу, ‒ задачу з керуванням. Основна ідея досліджень на сумісність згаданої задачі полягає в тому, що ця задача зводиться до аналогічної задачі для інтегрального рівняння з малою нелінійністю і з сумісності останньої випливає сумісність основної задачі.

У роботі розглянуто питання побудови наближених розв’язків як основної так і допоміжної задач. Показано, що при виконанні певних умов такі розв’язки можна отримати, застосувавши до задачі один варіант ітераційного методу. При застосуванні цього методу на кожному кроці ітерації виникає необхідність у розв’я­занні лінійної системи алгебраїчних рівнянь. Оскільки основна матриця системи є невиродженою і однаковою для кожного кроку ітерації, то доцільно на початку цього процесу знайти обернену матрицю і в подальшому поетапно використовувати її при відшуканні наближених розв’язків. Слід мати на увазі, що у випадку, коли основна задача є сумісною, використання додаткових умов, яким задовольняє шуканий розв’язок, дає змогу покращити умови збіжності та швидкість збіжності згаданого ітераційного методу.

Одержані результати є важливими в подальших дослідженнях різних типів наближених методів для відшукання розв’язків інтегро-функціональних рівнянь з обмеженнями.


Повний текст:

PDF

Посилання


Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Алимов. — М. : Наука, 1948. — 752 с.

Криль С. А. Решение интегро-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом / С. А. Криль. — К., 1978. — 35 с. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 87.17).

Лучка А. Ю. Методи розв’язування рівнянь з обмеженнями і проекційно-ітеративний метод Ю. Д. Соколова / А. Ю. Лучка // Укр. мат. журн. — 1996. — Вип. 48, № 11. — С. 1501–1509.

Лучка А. Ю. Интегральные уравнения и методы их решения / А. Ю. Лучка // Кибернетика и систем. анализ. — 1996. — №3. — С. 82–96.

Лучка А. Ю. Ітераційний метод побудови розв’язків лінійних рівнянь з обмеженнями / А. Ю. Лучка, Т. А. Кучерук // Укр. мат. журн. — 2002. — Т. 54. — №4. — С. 472–482.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.