Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці

Ірина Борисівна Ковальська

Анотація


Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвивається в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення таких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідовності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею Λ. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визначає конкретний метод підсумовування рядів Фур’є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда.

Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 році. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-дифе­рен­ційовних функцій для дробових r.

Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теляковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін.

У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функ­цій в інтегральній метриці.

Нехай N — деякий клас сумовних 2π-періодичних функцій. Тоді, якщо для f(x) існує (ψ; β)-похідна (в розумінні Степанця) і ця похідна належить класу N, то такі функції f(x) об’єднують в окремий клас L(ψ; β)N, що характеризується (ψβ) диференціальними властивостями самої функції і умовами, накладеними на її (ψ; β) похідну.

У статті класи L(ψ; β)N складаються з функцій, ряди Фур’є яких збігаються до нескінченно-диференційовних функцій, а їх (ψ; β)-похідні в інтегральній метриці належать одиничній кулі.

Основним результатом роботи є наступне твердження.

Теорема. Якщо дана функція f(tnr) — рівномірно обмежена, а функції f(x) належать згаданому класу L(ψ; β)N, то для довільних n Î N, для верхніх граней відхилень сум Зігмунда від функцій з класу L(ψ; β)N справедливі точні порядкові оцінки, де порядок визначається степенем — r методу Зігмунда.

Із допоміжних тверджень доводиться 2 леми і для того, щоб показати непокращуваність порядкової оцінки будується екстремальна функція g(x) Î L(ψ; β)N.


Повний текст:

PDF

Посилання


Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций / А. И. Степанец. — К. : Наук. думка, 1987. — 268 с.

Бушев Д. Н. О приближении слабо дифференцируемых периодических функций / Д. Н. Бушев, А. И. Степанец // Укр. мат. журн. — 1990. — Вип. 42. — № 3. — С. 405–412.

Zygmund A. Smooth Functions / A. Zygmund // Duke Math. J. — 1945. — Vol. 12. — P. 47–76.

Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье / А. В. Ефимов // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1960. — Вип. 24. — № 5. — С. 743–756.

Теляковский С. А. О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье / С. А. Теляковский // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1960. — Вип. 24. — № 2. — С. 213–242.

Nagy B. Sur une generale procedes de summation pour les series de Fourier / B. Nagy // Hung. Acta Math. — 1948. — № 3. — Р. 14–62.