Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею

Олександр Миколайович Омелян

Анотація


Cучасні наукові дослідження в самих різноманітних галузях науки неможливі без побудови математичних моделей фізичних, хімічних, біологічних та ін. процесів та явищ, що вивчаються. Одним з видів математичних моделей є диференціальні рівняння та їх системи. Серед диференціальних рівнянь для опису процесів проходження рідини з домішками через багатошарові фільтри, процесів забруднення атмосферного повітря вихлопними газами використовуються системи рівнянь конвекції-дифузії. До цього часу актуальною залишається розробка нових методів знаходження точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Одним з таких методів є метод С. Лі. Дана робота присвячена пошуку засобів узагальнення методу С. Лі для знаходження нових класів точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна системі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи та системи-образу, пов’язаної з нею нелокальними перетвореннями, досліджено їх симетрійні властивості. Для знайденої системи-образу в роботі побудовані нееквівалентні ліївські анзаци. Подіявши на ліївські анзаци системи-образу нелокальними перетвореннями, одержані нелокальні анзаци системи конвекції-дифузії з хемотаксисною матрицею дифузії. Подіявши нелокальними анзацами на дану систему, знайдені редуковані рівняння, розв’язавши які, можна одержати точні розв’язки даної системи. Знайдені нелокальні анзаци не можна отримати в рамках класичного методу С. Лі., але вони дозволяють побудувати нові, неліївські розв’язки даної системи диференціальних рівнянь. Зокрема, в статті, розв’я­завши одну з редукованих систем, в якості прикладу застосування нелокальних анзаців, побудовано розв’язок системи конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею.


Повний текст:

PDF

Посилання


Иваницкий Г. Р. От беспорядка к упорядоченности — на примере движения микроорганизмов / Г. Р. Иваницкий, А. Б. Медвинский, М. А. Цыганов // Успехи физических наук. — 1991. — Т. 161, № 4. — C. 13–71.

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400c.

Омелян O. M. Редукція та розв'язки систем нелінійних рівнянь дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея / O. M. Омелян // Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Сер.: «Математика. Механіка». — 2004. — № 11–12. — С. 95–100.

Сєров М. І. Лінеаризація систем нелінійних рівнянь дифузії за допомогою нелокальних перетворень / М. І. Сєров, O. M. Омелян, Р. М. Черніга // Доп. НАН України. — 2004. — № 10. — С. 39–45.

Сєров М. І. Симетрійні властивості системи нелінійних рівнянь хемотаксису / М. І. Сєров, О. М. Омелян. — Полтава : ПолтНТУ, 2012. — 238 c.

Сівак В. Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78–91.

Фущич В. И. О нелокальных анзацах одного нелинейного одномерного уравнения теплопроводности / В. И. Фущич, Н. И. Серов, Т. К. Амеров // Доклады Академии наук Украины. — 1992. — № 1. — С. 26–30.

Фущич В. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики / В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Серов. — К. : Наук. думка, 1989. — 335 с.

Чапля Є. Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха, В. Дмитрук // Доповіді НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46–51.

Чернуха О. Математичні моделі стаціонарних процесів конвективної дифузії в регулярних структурах. Задачі термодифузії та методи їх розв’язку : колект. моногр. / О. Чернуха, В. Гончарук, В. Дмитрук ; під ред. д. т. н. В. П. Ляшенка. — Кременчук : Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, 2012. — C. 91–109.

Adler J. Chemotaxis in bacteria / J. Adler // Sciense. — 1996. — Vol. 153. — P. 708–716.

Fushchich W. I. On nonlocal symmetries of the nonlinear heat equation / W. I. Fushchich, N. I. Serov, V. A. Tychynin, T. K. Amerov // Proc. Acad. of Sci. Ukraine. — 1992. — №11. — P. 27–33.

Keller E. F. Model for chemotaxis / E. F. Keller, L.A. Segel // J. Theor. Biol. — 1971. — Vol. 30. — P. 225–234.

Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations / P. Olver. — New York : Springer, 1986. — 497 p.

Tychynin V. A. Symmetries and Generation of Solutions for Partial Differential Equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova, O. M. Tertyshnyk // Symmetry, In-tegrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA) — 2007. —Vol. 3. —14 p. — URL: http://arxiv.org/abs/math-ph/0702033

Tychynin V. A. Nonlocal symmetries and formulae for generation of solutions for a class of diffusion-convection equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova // J. Math. Anal. Appl. — 2011. — № 382. — P. 20–33.