Полиэдрально-сферические конфигурации: особенности и применение

Анотація

В статье рассмотрены конечные точечные конфигурации, расположенные на гиперсфере (полиэдрально-сферические конфигурации, PSCs) и исследованы их алгебро-топологичес­кие и тополого-метрические свойства.

Поставлены следующие задачи: определение, является ли конечная точечная конфигурация полиэдрально сферической; определение центра и радиуса сферы, описанной вокруг PSC ; определение центра и радиуса PSC, т.е. центра и радиуса описанной сферы минимального радиуса; поиск возможных способов редукции задач, поставленных на PSCs, в частности, их декомпозиции на полиэдрально-сферические подконфигурации. Выделены, исследованы особенности и решены поставленные задачи для трех классов PSCs — симплексных, перестановочных и двухуровневых по координатам, в частности, установлена их связь с базовыми множествами евклидовых комбинаторных конфигураций перестановок и булевых векторов.

Также исследованы свойства PSCs общего вида, в частности, исследован вопрос определения центра и радиуса PSCs, образованных в результате теоретико-множественных операций над точечными конфигурациями, среди которых есть PSCs. Важной отличительной особенностью PSCs является то, что они совпадают со множеством вершин своей выпуклой оболочки, то есть относятся к классу вершинно расположенных. Соответственно, они образуются в пересечении гиперсферы со своей выпуклой оболочкой. Это позволяет при оптимизации на них применять теорию выпуклых продолжений к функциям, заданным на PSCs. В частности, можно считать, что как целевая функция, так и функциональные ограничения задач оптимизации выпуклые и гладкие. А это, в свою очередь, открывает широкие перспективы создания методов типа ветвей и границ, использующие, с одной стороны, при ветвлении - структурные особенности специальных классов PSCs, а с другой - оценки, получаемые в результате решения выпуклых полиэдральных релаксационных задач либо сферических релаксационных задач с выпуклыми целевыми функциями и функциональными ограничениями.

В статье широко освещены вопросы разложений PSCs по выпуклым поверхностям, в частности, по семейству вложенных гиперсфер и параллельным плоскостям. С задачей декомпозиции тесно связана задача декомпозиции PSCs на полиэдрально-сферические подконфигурации, решение которой также предложено в данной работе.

Полученные результаты имеют самостоятельный теоретический интерес, а также применимы в вычислительных алгоритмах, реализующих полиэдрально-сферические методы решения задач оптимизации на PSCs.