Методи розв’язування граничних задач на основі математики функціональних інтервалів

Петро Степанович Сеньо

Анотація


У роботі запропоновані алгоритми на основі математики функціональних інтервалів [3] розв’язування граничних задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Ці методи дають двохсторонні апроксимації розв’язків таких задач сплайнами. Так отримані функціональні інтервали гарантовано містять точний розв’язок задачі.

Кожен такий алгоритм складається із кроків, які можна розбити на два блоки. Перший блок реалізує процедуру побудови найпростіших функціональних інтервалів, які містять першу прохідну та функцію, відповідно. Крім цього, одночасно будуються інтервали, в яких гарантовано містяться значення функції і її похідної на кінцях інтервалу інтегрування. Формули (37)–(46), (48)–(58), (66)–(78) відображають зв’язки між функцією і її похідної на протилежних кінцях інтервалу інтегрування. Тому їх використовуємо для побудови інтервалів, які гарантовано містять ці величини.

Другий блок реалізує процедуру побудови на інтервалі інтегрування функціональних інтервалів, які містять першу прохідну функції, та розв’язок задачі, відповідно. Цей блок кроків алгоритму формуємо на основі висновків теорем 3, 4 за наведеними там формулами.

Теореми 3, 4 є узагальненнями теореми 1 та теореми 2 з [5]. Ці теореми дають можливість аналізувати та усувати різноманітні невизначеності, пов’язані з неперервно диференційовними функціями. Висновки цих теорем дають можливість суттєво звузити двохсторонні апроксимації розв’язку задачі Коші (1)–(2) та граничної задачі (3)–(5). Тому ці висновки можна трактувати як конкретизацію і узагальнення теореми про середнє функції  і її похідної.

Запропоновані алгоритми будують функціональні інтервали розв’язку задачі з будь-якою бажаною як завгодно малою шириною.


Повний текст:

PDF

Посилання


Добронец Б. С. Двусторонние численные методы / Б. С. Добронец, В. В. Шайдуров — Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1990. — 208 с.

Калмыков С. А. Методы интервального анализа / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, З. Х. Юлдашев. — Новосибирск : Наука, Сибирское отделе-ние, 1986. — 222 с

Сеньо П. С. Арифметика лінійних функціональних інтервалів / П. С. Сеньо // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2014. — Вип. 21. — С. 38–57.

Сеньо П. С. Деякі застосування математики функціональних інтервалів / П. С. Сеньо // Матем. та комп. моделювання. Серія: фізико-матем. науки. — 2016. — Вип. 13. — С. 182–193.

Сеньо П. С. Двохсторонні методи розв’язування задачі Коші на підставі математики функціональних інтервалів / П. С. Сеньо // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2017. — Вип. 24. — С. 18–37.

Senio P. S. The method of solving the Cauchy problem that is based on the ad-justment the approximation of the function and its derivative / P. S. Senio, T. I. Stoyko // East European Scientific Journal. — Warsaw, 2017. — No 9. — Р. 65–72.