Дослідження Т-періодичних розв’язків рівнянь гіперболічного типу

Світлана Григорівна Хома-Могильська, Віктор Зіновійович Чорний

Анотація


Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періо­дичний розв’язок рівняння Lu = f (xtu), потрібно, щоб права частина рівняння f (xtu) була Т-періодичною по t, тобто f (xtu) = f (xtu). Зауважимо, що не кожне рівняння при такій умові може мати Т-періодичний розв’язок. Прикладом такого твердження є звичайне диференціальне рівняння dx / dt = sin2t, розв’язок якого не є періодичним. Для дослідження існування
Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та їх систем А. М. Самой­ленком був розроблений чисельно-ана­літичний метод побудови Т-періо­дич­них розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Результати, одержані А. М. Са­мо­й­ленко, були використані для дослідження Т-періодич­них роз­в’я­з­ків багатьох нових класів звичайних диференціальних рівня­нь і навіть захопили задачу Гурса для рівнянь у частинних похід­них. Зазначимо, що крайові Т-періодичні задачі для більш зага­ль­ного диференціального рівняння у частинних похідних не були дослід­жені аналітичним методом. Вперше у даній роботі нами по­ка­зано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-пе­ріо­дичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних ¶2/ ¶t– a22x2 = f (xtuutux). Використано таке просте твердження: функція К (xt), визначена через інтеграл з межами від t – b до t + b, для кожної Т-періодичної по τ функції g (xτ), тобто g (xτ + Т) = g (xτ), є також Т-періодична по t. Знайдена формула автоматично задовольняє крайові та
Т-періодичні умови: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t Î R. Одержані в даній роботі результати можна використовувати для дослідження багатьох класів диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу.


Повний текст:

PDF

Посилання


Самойленко А. М. Чисельно-аналитические методы исследования периодических решений / А. М. Самойленко, Н. И. Ронто. — К. : Вища школа, 1976. — 180 с.

Митропольский Ю. А. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа / Ю. А. Митропольский, Г. П. Хома, М. И. Громяк. — К. : Наук. думка, 1991. — 232 с.

Вейвода О. Существование классических периодических решений волнового уравнения: Связь теоретико-числового характера периода и геометрических свойств решений / О. Вейвода, М. Штедры // Дифференциальные уравнения. — 1984. — Т. 20, № 10. — С. 1733–1739.

Rabinowitz P. Periodic solution of hyperbolic partial differential equations / P. Rabinowitz // Comm. Pure Appl. Math. — 1967. — Vol. 20, № 1. — P. 145–205.

Пташник Б. Й. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними / Б. Й. Пташник, В. С. Ільків, І. Я. Кміть, В. М. Поліщук. — К. : Наук. думка, 2002. — 416 с.

Митропольський Ю. О. Умови існування розв’язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого по-рядку / Ю. О. Митропольський, С. Г. Хома-Могильська // Укр. мат. журн. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 912–921.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.