Дослідження Т-періодичних розв’язків рівнянь гіперболічного типу

Анотація

Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періо­дичний розв’язок рівняння Lu = f (x, t, u), потрібно, щоб права частина рівняння f (x, t, u) була Т-періодичною по t, тобто f (x, t+Т, u) = f (x, t, u). Зауважимо, що не кожне рівняння при такій умові може мати Т-періодичний розв’язок. Прикладом такого твердження є звичайне диференціальне рівняння dx / dt = sin²t, розв’язок якого не є періодичним. Для дослідження існування
Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та їх систем А. М. Самой­ленком був розроблений чисельно-ана­літичний метод побудови Т-періо­дич­них розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Результати, одержані А. М. Са­мо­й­ленко, були використані для дослідження Т-періодич­них роз­в’я­з­ків багатьох нових класів звичайних диференціальних рівня­нь і навіть захопили задачу Гурса для рівнянь у частинних похід­них. Зазначимо, що крайові Т-періодичні задачі для більш зага­ль­ного диференціального рівняння у частинних похідних не були дослід­жені аналітичним методом. Вперше у даній роботі нами по­ка­зано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-пе­ріо­дичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних ¶²u / ¶t² – a²¶²u /¶x² = f (x, t, u, u_t, u_x). Використано таке просте твердження: функція К (x, t), визначена через інтеграл з межами від t – b до t + b, для кожної Т-періодичної по τ функції g (x, τ), тобто g (x, τ + Т) = g (x, τ), є також Т-періодична по t. Знайдена формула автоматично задовольняє крайові та
Т-періодичні умови: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t Î R. Одержані в даній роботі результати можна використовувати для дослідження багатьох класів диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу.