Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням

Олександр Юрійович Швець, Василь Олександрович Сіренко

Анотація


Розглянуто п’ятивимірну детерміновану динамічну систему, яка використовується для опису динамічної поведінки маятникових систем, баків з рідиною, оболонок, тощо. Принциповою особливістю є неідеальність розглянутої динамічної системи за Зоммерфельдом-Кононенком. У таких динамічних системах завжди враховується взаємодія між деякою коливальною підсистемою та джерелом збудження коливань. Головна увага приділяється пошуку та опису нових сценаріїв переходу від регулярних режимів до хаотичних.

На підставі, розробленої методики для чисельного дослідження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу. Був описаний  сценарій переходу до хаосу, який починається як симетричний каскад біфуркацій подвоєння періоду граничних циклів та закінчується виникненням симетричного хаотичного атрактора через переміжність. Тобто виявлений сценарій поєднує у собі характерні особливості притаманні класичним сценаріям Фейгенбаума та Помо-Манневілля. Також був описаний сценарій переходу до хаосу через переміжність у якому рух траєкторій по хаотичному атрактору включає у себе не одну, як сценарії Помо-Манневілля, а дві  симетричні ламінарні фази. Причому відбуваються непередбачувані переходи між двома ламінарними фазами руху та турбулентною фазою.  Проведений  ретельний  аналіз  різноманітних характеристик регулярних та хаотичних атракторів розглянутої динамічної системи (проекцій фазових портретів, часових реалізацій фазових змінних, розподілів природних інваріантних мір) на підставі якого було обґрунтоване існування виявлених симетричних сценаріїв.

Повний текст:

PDF

Посилання


Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transfor-mations / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. — 1978 — Vol. 19, № 1. — P. 25–52.

Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. — 1979. — Vol. 21, № 6. — P. 669–706.

Manneville P. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems / P. Manneville, Y. Pomeau // Physica D.: Nonlinear Phenomena. — 1980. — Vol. 1, № 2. — P. 219–226.

Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P. Manneville // Comm. Math. Phys. — 1980. — Vol. 74, № 2. — P. 189–197.

Krasnopolskaya T. S. Dynamical chaos for a limited power supply for fluid oscillations in cylindrical tanks / T. S. Krasnopolskaya, А. Yu. Shvets // Journal of Sound and Vibration. — 2009. — Vol. 322 (3). — P. 532–553.

Швец А. Ю. Особенности перехода к детерминированному хаосу в неидеальной гидродинамической системе «бак с жидкостью-электродвигатель» / А. Ю. Швец, В. А. Сиренко // Динамические системы. — 2011. — Вып. 1 (29). — С. 113–131.

Shvets A. Yu. Peculiarities of transition to chaos in nonideal hydrodynamics systems / A. Yu. Shvets, V. O. Sirenko // Chaotic Modeling and Simulation. — 2012. — Vol. 2. — P. 303–310.

Швець О. Ю. Різноманітність динамічних режимів неідеальних гідродина-мічних систем при обмеженому збудженні / О. Ю. Швець, В. О. Сіренко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія 1. — 2010 — Вип. 3. — С. 200–212.

Швец А. Ю. Единство и разнообразие сценариев перехода к хаосу при колебаниях жидкости в цилиндрических баках / А. Ю. Швец, В. А. Сиренко // Збірник праць Інституту математики НАН України «Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики». — 2014. — Вип. 11 (4). — С. 386–398.

Shvets A. Yu. Complicated Scenarios of Transitions to Deterministic Chaos in Non-Ideal Dynamic Systems / A. Yu. Shvets, V. Sirenko // Nonlinear Dynamics-2016 (ND-KhPI2016) : proceedings of 5th International Conference, September 27–30, 2016. — Kharkov : NTU «KhPI», 2016. — P. 222–229.

Krasnopolskaya T. S. Regular and chaotic surface waves in a liquid in a cylindrical tank / T. S. Krasnopolskaya, A. Yu. Shvets // Soviet Applied Mechanics. — 1990. — Vol. 26 (8). — P. 787–794.

Krasnopolskaya T. S. Chaotic surface waves in limited power–supply cylindrical tank vibrations / T. S. Krasnopolskaya, А. Yu. Shvets // J. of Fluids & Struc-tures. — 1994. — Vol. 8 (1). — P. 1–18.

Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением / В. О. Кононенко. — М. : Наука, 1964. — 254 с.

Ibrahim R. A. Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications / R. A. Ibrahim. — Cambridge University Press, 2005. — 970 p.

Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах / В. С. Анищенко. — М. : Наука, 2006. — 312 c.

Кузнецов С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. — М. : Физматлит, 2006. — 356 c.

Shvets A. Yu. Deterministic chaos of a spherical pendulum under limited excita-tion / A. Yu. Shvets // Ukrainian Mathematical Journal. — 2007. — Vol. 59 (4). — P. 602–614.