DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.25-31

Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений

Анатолий Федорович Верлань, Сергей Анатолиевич Положаенко, Сергей Юриевич Протасов

Анотація


При компьютерном исследовании динамических задач обычно применяются численные методы решения дифференциальных уравнений. Существенная важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения, которая зависит от точности используемого компьютера и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления. Хотя вычислительные правила строятся исходя из условий обеспечения их возможного роста относительно погрешности, однако при большом числе шагов отклонение решения, полученного численным методом, от точного может быть весьма значительным.

Получение удовлетворительных оценок оперативного численного решения дифференциальных уравнений является достаточно сложной задачей, которую во многих практических случаях решить не удается. Таким образом, актуальной задачей с вычислительной точки зрения, является разработка подходов и методов, позволяющих осуществить контроль вычислительного процесса.

В настоящей работе рассматривается возможность контроля погрешности численного решения путем использования методов параметрической идентификации, которые широко применяются при решении практических задач идентификации линейных и нелинейных систем. При этом достоверность контроля не должна завесить от причин, вызывающих погрешность решения. Сам процесс контроля состоит из следующих этапов: восстанавливаются с некоторой точностью параметры уравнений, для которых получаемое численное решение является точным. Оцениваемые параметры (коэффициенты сравниваются с коэффициентами исходных уравнений; разность коэффициентов является информацией, которая используется для оценки поведения решения на участке восстановления (участок восстановления — отрезок численного решения, который используется для параметрической идентификации).

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Киясов С. Н. Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач : учебное пособие / С. Н. Киясов, В. В. Шурыгин. — Казань : Казанский федеральный университет, 2011. — 112 с.

Горбань А. В. Устойчивость и оценка погрешности параллельных одношаговых численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [Електронний ресурс] / А. В. Горбань — 2005. — Режим доступа: http://masters.donntu.org/2005/fvti/gorban/diss/index.htm.

Сергиенко И. В. Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений / И. В. Сергиенко, А. Н. Химич, М. Ф. Яковлев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 68–80.

Демидович Б. П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б. П. Демидович, H. A. Марон, Э. З. Шувалова. — М. : Наука, 1967. — 368 с.

Абрегов М. Х. Устойчивый численный метод решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка / М. Х. Абрегов, В. З. Канчукоев, И. К. Машуков // Фундаментальные исследования. — 2016. — № 2 (1) — С. 9–12.

Городецкий В. И. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / В. И. Городецкий, Ф. М. Захарин, Е. Н. Розенвассер, Р. М. Юсупов. — М. : Энергия, 1971. — С. 344.