DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.65-77

Співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору

Уляна Василівна Гудима, Василь Олексійович Гнатюк

Анотація


В середині XIX століття П. Л. Чебишов ввів у математичну науку поняття найкращого у розумінні рівномірної норми наближення неперервної на сегменті дійснозначної функції мно­жиною алгебраїчних поліномів степеня, що не перевищує заданого натурального числа.

Згодом поняття найкращого наближення було перенесено на випадок загальних лінійних нормованих просторів. Виявилось, що низка задач найкращого наближення є частинними випадками задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від заданого елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору.

Важливими питаннями дослідження цієї задачі є питання встановлення співвідношення двоїстості та критерію екстремальності її елемента, конкретизація цього співвідношення та критерію на окремі частинні випадки та їх застосування.

Загальні співвідношення двоїстості та критерії екстремаль­ності елемента для задачі відшукання відстані від заданої точки лінійного нормованого простору до його опуклої множини та їх конкретизації встановлено М. П. Корнєйчуком та В. М. Ти­хомировим.

Важливою задачею, частинним випадком якої є задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, є задача відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору, яка розглядається у даній роботі.

У статті для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить розглядувану задачу до задачі на обчислення верхньої межі в спряженому до лінійного нормованого простору просторі.

Вищеназване співвідношення покладене в основу доведення критерію екстремальності елемента для розглядуваної задачі.

Отримані результати конкретизовано на окремі випадки, застосовано для встановлення відстані між двома кулями та між кулею і гіперплощиною лінійного нормованого простору.


Повний текст:

PDF

Посилання


Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 407 с.

Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций / В. К. Дзядык. — М. : Наука, 1977. — 510 с.

Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Корнейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с.

Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. :

Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. І. — 427 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. :

Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. ІІ. — 468 с.

Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений / В. М. Тихомиров. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976. — 307 с.

Арутюнов А. В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу : учебное пособие / А.В. Арутюнов. — М. : Физматлит, 2014. — 184 с.