Співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору
DOI:
https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.65-77Анотація
В середині XIX століття П. Л. Чебишов ввів у математичну науку поняття найкращого у розумінні рівномірної норми наближення неперервної на сегменті дійснозначної функції множиною алгебраїчних поліномів степеня, що не перевищує заданого натурального числа.
Згодом поняття найкращого наближення було перенесено на випадок загальних лінійних нормованих просторів. Виявилось, що низка задач найкращого наближення є частинними випадками задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від заданого елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору.
Важливими питаннями дослідження цієї задачі є питання встановлення співвідношення двоїстості та критерію екстремальності її елемента, конкретизація цього співвідношення та критерію на окремі частинні випадки та їх застосування.
Загальні співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані від заданої точки лінійного нормованого простору до його опуклої множини та їх конкретизації встановлено М. П. Корнєйчуком та В. М. Тихомировим.
Важливою задачею, частинним випадком якої є задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, є задача відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору, яка розглядається у даній роботі.
У статті для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить розглядувану задачу до задачі на обчислення верхньої межі в спряженому до лінійного нормованого простору просторі.Вищеназване співвідношення покладене в основу доведення критерію екстремальності елемента для розглядуваної задачі.
Отримані результати конкретизовано на окремі випадки, застосовано для встановлення відстані між двома кулями та між кулею і гіперплощиною лінійного нормованого простору.
Посилання
Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.
Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 407 с.
Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций / В. К. Дзядык. — М. : Наука, 1977. — 510 с.
Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Корнейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с.
Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с.
Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. :
Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. І. — 427 с.
Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. :
Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. ІІ. — 468 с.
Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений / В. М. Тихомиров. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976. — 307 с.
Арутюнов А. В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу : учебное пособие / А.В. Арутюнов. — М. : Физматлит, 2014. — 184 с.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Authors who publish with this journal agree to the following terms:- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
