Інтегральний метод розв’язування диференціальних рівнянь при моделюванні об’єктів із розподіленими параметрами

Анотація

У статті розглянуто метод отримання одновимірних інтегральних динамічних моделей систем із розподіленими параметрами в інтегральній формі на основі застосування диференціальних рівнянь з дробовими похідними, які отримуються шляхом перетворень ірраціональних передатних функцій. Такі передатні функції зустрічаються при описі задач теплопровідності, дифузії, коливальних процесів та інших задач, які описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними параболічного та гіперболіч­но­го типу. Типовими прикладами можуть бути передатні функції, які описують напівінтегральну або напівінерційну ланки, в яких змінна Лапласа знаходиться під коренем. Отримана задача Ко­ші для звичайного диференціального рівняння з дробовими похід­ними подається у формі інтегрального рівняння Вольтерри ІІ роду типу згортки. Застосування даного підходу розглянуто при роз­в’я­занні різних диференціальних рівнянь: звичайного диференціа­ль­ного рівняння порядку 0 < a <1, звичайного диференціального рів­няння дробового порядку a > 1, диференціального рівняння n-го порядку із дробовими похідними. Розв’язування ос­тан­нього рівняння здійснюється на основі складання характеристичного рівняння, що призводить до розв’язування звичайних диферен­ціа­ль­них рівнянь порядку a. Важливим прикладом є також розглянутий підхід до розв’язування системи диференціальних рівнянь із дробовими похідними. Завдяки переходу до еквівалентних інтегральних рівнянь розглянута задача може розв’язуватись різними наближеними методами, які будуються на основі квадратурних методів із застосуванням апроксимаційних моделей поліноміальної форми, зокрема, поліномів Чебишева. Запропонований підхід дозволяє будувати одновимірні інтегральні динамічні моделі систем взаємопов’язаних об’єктів із розподіленими параметрами, які можуть забезпечити високу точність та стійкість розв’язку.