DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.105-112

Гладкі розв’язки гіперболічних за Шиловим систем

Владислав Антонович Літовченко

Анотація


Для широкого класу гіперболічних за Шиловим лінійних систем рівнянь із частинними похідними, який охоплює клас Петровського гіперболічних систем зі сталими коефіцієнтами і містить клас рівнянь Гордінга, розглядається питання знаходження гладких класичних розв’язків, які є стосовно прос­то­­рової змінної фінітними або швидко спадними на нескінченності вектор-функціями. Дослідження проводяться методом перетворення Фур’є у поєднанні з тео­рі­єю просторів типу S i S’ Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. основних і узагальнених функцій. Належ­ні­сть компонент фундаментального розв’язку задачі Коші для таких систем до простору розподілів Дірака, а також, їх згортковість у певних просторорах типу S основ­них фун­к­цій доз­волило тут установити в класичному розумінні коректну розв’язність задачі Ко­ші в кож­­но­му такому просторі Гельфанда і Шилова. Тобто, довести існування, єдиність та неперервну залеж­ні­сть від поча­т­кових даних класичного розв’язку гіперболічної системи у зазначеному просторі типу S, за умови, що його граничне значення на початковій гіперплощині є елементом цього простору. При цьому, роз­в’я­зок прямує до початкової вектор-функції при наближенні часової змінної до нуля у сенсі то­по­ло­гії цього простору. Цей результат, зокрема, дозволяє зробити важливий висновок про те, що ево­лю­ційні процеси з відсутнім зовнішнім впливом, які опису­ю­ться гіперболічними за Шило­вим систе­ма­ми, в рамках просторів типу S з плином часу, спроможні збе­рі­гати ті якісні харак­те­рис­тики сто­сов­но просторової змінної, якими вони во­ло­діли на початковому етапі еволю­ції.


Повний текст:

PDF

Посилання


Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — Москва : Физматгиз, 1958. — 274 с.

Петровский И. Г. О задаче Коши для уравнений в частных производных / И. Г. Петровский // Мат. сб. — 1937. — Т. 2, №5. — С. 815–870.

Leray J. Hyperbolic differential equations / J. Leray. — Princeton, 1952. — 238 p.

Ладыженская О. А. Смешанная задача Коши для гиперболических уравнений / О. А. Ладыженская. — Москва : Гостехиздат, 1953. — 279 с.

Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений / Л. Гординг. — Москва : ИЛ, 1961. — 122 с.

Лере Ж. Задача Коши / Ж. Лере, Л. Гординг, Т. Котаке. — Москва : Мир, 1967. — 152 с.

Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — Москва : Наука, 1988. — 333 с.

Каленюк П. Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод / П. Каленюк, З. Нитребич. — Львів : Львівська політехніка, 2002. — 292 с.

Firman T. Mixed problem for countable hyperbolic system of linear equation / T. Firman, V. Kyrylych // Azerbaijan Jornal of Mathematics. — 2015. — Vol. 5. — № 2. — P. 47–60.

Derevianko T. O. Optimal control of quasihyperbolic system of linear equations of the first order with infinite planning horizon / T. O. Derevianko, V. M. Kyrylych // Ukrain. Mat. Journal. — 2015. — Vol. 67. — № 2. — P. 185–201.

Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — Москва : Физматгиз, 1958. — 307 с.