DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.113-125

Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті

Олексій Русланович Подгорний

Анотація


Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. При цьому, в постановку задачі входить невідоме значення повних витрат рідини, для знаходження котрого формулюється додаткове інтегральне співвідношення. Для її чисельного аналізу пропонується використати структурно-варіаційний метод (метод R-функцій), що дозволить найбільш повно урахувати в обчислювальному алгоритмі всю геометричну та аналітичну інформацію, яка входить у постановку задачі. Від вихідної задачі здійснено перехід до крайової задачі з відомими крайовими умовами. Згідно з методом R-функцій для побудованої структури розв’язку, яка точно враховує всі крайові умови отриманої задачі, обґрунтовано використання варіаційного методу Рітца для апроксимації невизначеної компоненти. Після цього, з додаткового інтегрального співвідношення знайдено наближене значення невідомих витрат рідини і наближений розв’язок вихідної задачі. Було проведено обчислювальний експеримент для різних значень коефіцієнтів фільтрації в області, яка має вигляд нижньої половини кільця, з умовою, що координатні функції були побудовані на основі поліномів Лежандра. У випадку сталого коефіцієнта фільтрації наближений розв’язок задачі було порівняно з точним розв’язком. Виявлено, що похибка визначення повних витрат рідини та наближеного розв’язку задачі зменшується зі збільшенням кількості координатних функцій. Також було розглянуто випадки, де коефіцієнт фільтрації збільшується з глибиною. Встановлено, що зі збільшенням кількості координатних функцій значення повних витрат має тенденцію до збігу. Отже, запропонований метод чисельного аналізу довів свою ефективність і може бути використаний для розв’язку практичних задач. Перевагами розробленого методу є отримання розв’язку крайової задачі у вигляді єдиного аналітичного виразу і точне задоволення всіх крайових умов задачі.


Повний текст:

PDF

Посилання


Блишун А. П. Математическое моделирование и численный анализ фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью / А. П. Блишун, М. В. Сидоров, И. Г. Яловега // Радиоэлектроника и информатика. — 2010. — № 2. — С. 40–46.

Блишун А. П. Применение метода R-функций к численному анализу фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями / А. П. Блишун, М. В. Сидоров, И. Г. Яловега // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2012. — № 1. — С. 50–56.

Бомба А. Я. Нелінійні математичні моделі процесів геогідродинаміки / А. Я. Бомба, В. М. Булавацький, В. В. Скопецький. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с.

Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в математической физике / П. Н. Вабищевич. — Москва : Изд-во МГУ, 1991. — 156 с.

Венгерський П. Про задачу сумісного руху поверхневих і грунтових пото-ків на території водозбору / П. Венгерський // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інф. — 2014. — Вип. 22. — С. 41–53.

Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости / Дж. Коннор, К. Бреббиа. — Л. : Судостроение, 1979. — 264 с.

Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — Москва : Наука, 1973. — 736 с.

Ляшко И. И. Метод мажорантных областей в теории фильтрации / И. И. Ляшко, И. М. Великоиваненко, В. И. Лаврик, Г. Е. Мистецький. — Киев : Наук. думка, 1974. — 202 с.

Ляшко И. И. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации / И. И. Ляшко, И. М. Великоиваненко. — Киев : Наук. думка, 1973. — 264 с.

Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической физики / С. Г. Михлин. — Москва : Наука, 1970. — 512 с.

Подгорний О. Р. Математичні моделі фільтраційних течій та застосування методу R-функцій для їх чисельного аналізу / О. Р. Подгорний // Радіоелектроніка та інформатика. — 2018. — № 1. — С. 40–47.

Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. — Москва : Наука, 1977. — 664 с.

Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рвачёв — Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с.

Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. — Москва : Мир, 1985. — 590 с.

Сидоров М. В. Математическое компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений / М. В. Сидоров, А. В. Стороженко // Радиоэлектроника и информатика. — 2004. — № 4. — С. 58–61.