Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті

Анотація

Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. При цьому, в постановку задачі входить невідоме значення повних витрат рідини, для знаходження котрого формулюється додаткове інтегральне співвідношення. Для її чисельного аналізу пропонується використати структурно-варіаційний метод (метод R-функцій), що дозволить найбільш повно урахувати в обчислювальному алгоритмі всю геометричну та аналітичну інформацію, яка входить у постановку задачі. Від вихідної задачі здійснено перехід до крайової задачі з відомими крайовими умовами. Згідно з методом R-функцій для побудованої структури розв’язку, яка точно враховує всі крайові умови отриманої задачі, обґрунтовано використання варіаційного методу Рітца для апроксимації невизначеної компоненти. Після цього, з додаткового інтегрального співвідношення знайдено наближене значення невідомих витрат рідини і наближений розв’язок вихідної задачі. Було проведено обчислювальний експеримент для різних значень коефіцієнтів фільтрації в області, яка має вигляд нижньої половини кільця, з умовою, що координатні функції були побудовані на основі поліномів Лежандра. У випадку сталого коефіцієнта фільтрації наближений розв’язок задачі було порівняно з точним розв’язком. Виявлено, що похибка визначення повних витрат рідини та наближеного розв’язку задачі зменшується зі збільшенням кількості координатних функцій. Також було розглянуто випадки, де коефіцієнт фільтрації збільшується з глибиною. Встановлено, що зі збільшенням кількості координатних функцій значення повних витрат має тенденцію до збігу. Отже, запропонований метод чисельного аналізу довів свою ефективність і може бути використаний для розв’язку практичних задач. Перевагами розробленого методу є отримання розв’язку крайової задачі у вигляді єдиного аналітичного виразу і точне задоволення всіх крайових умов задачі.