Застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних наближень до розв’язку задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
DOI:
https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.146-161Анотація
Проблема математичного моделювання нелінійних стаціонарних процесів теплопровідності приводить до необхідності ефективного розв’язання крайових задач для еліптичного рівняння з коефіцієнтом, нелінійно залежним від температури. У роботі розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності зі степенево залежним від температури коефіцієнтом теплопровідності та нелінійною функцією потужності теплових джерел. Додатний розв’язок розглядуваної задачі запропоновано знаходити, використовуючи метод двобічних наближень, побудований на основі застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова. Для цього було зроблено заміну невідомої функції з метою отримати нелінійну задачу для рівняння з оператором Лапласа. Ця задача за допомогою квазіфункції Гріна-Рвачова була замінена еквівалентним інтегральним рівняння Урисона. Дослідження цього рівняння було проведено методами нелінійного аналізу у напівупорядкованих просторах, зокрема, використовуючи теорію гетеротонних операторів В. І. Опойцева. Інтегральний оператор, що входить у рівняння Урисона, розглянуто як гетеротонний оператор, що діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Це дозволило з’ясувати умови існування єдиного додатного розв’язку розглядуваної задачі та побудувати для його знаходження двобічний ітераційний процес. Цей процес розпочинається з кінців сильно інваріантного для гетеротонного оператора конусного відрізку і дозволяє будувати дві послідовності функцій, які наближають шуканий розв’язок знизу та зверху. Перевагою побудованого двобічного ітераційного процесу є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки наближеного розв’язку на кожній ітерації. Ефективність розробленого методу було проілюстровано обчислювальним експериментом у одиничному квадраті для випадку експоненціальної залежності потужності теплових джерел від температури. Результати експерименту наведено у вигляді графічної (лінії рівня та поверхня наближеного розв’язку) та числової (значення наближеного розв’язку у деяких точках області) інформації.
Посилання
Колосов А. И. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Колосов, С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2012. — № 2. — С. 50–57.
Колосова С. В. О построении двусторонних приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2015. — № 3. — С. 107–120.
Колосова С. В. О построении итерационных методов решения краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2013. — № 1. — С. 35–42.
Колосова С. В. Применение итерационных методов к решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейностью / С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Радиоэлектроника и информатика. — 2013. — № 3 (62). — С. 28–31.
Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. — М. : Физматгиз, 1962. — 394 с.
Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хуродзе. — Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. — 246 с.
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. — М. : Физматлит, 2001. — 576 с.
Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рвачев. — Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с.
Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. — Москва : Наука, 1987. — 480 с.
Самарский А. А. Численные методы математической физики / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — 2-е изд. — Москва : Научный мир, 2003. — 316 с.
Сидоров М. В. Застосування методів функцій Гріна та квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних ітераційних процесів розв’язання нелінійних крайових задач / М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2017. — № 2. — С. 250–259.
Сидоров М. В. Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності / М. В. Сидоров // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. — 2017. — Вип. 16. — С. 157–167.
Afrouzi G. A. A Numerical Method for Finding Positive Solution of Dirichlet Problem with a Weight Function / G. A. Afrouzi, S. Mahdavi, Z. Naghizadeh // Journal of Information and Computing Science. — 2006. — Vol. 1. — № 3. — P. 168–172.
Guo D. Coupled fixed points of nonlinear operators with applications / D. Guo, V. Lakshmikantham // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1987. — Vol. 11. — № 5. — P. 623–632.
Chen G. Algorithms and visualization for solutions of nonlinear elliptic equations / G. Chen, J. Zhou, W.-M. Ni // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — Vol. 10. — № 7. — P. 1565–1612.
Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations / C. V. Pao. — New York : Plenum Press, 1992. — 794 p.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Authors who publish with this journal agree to the following terms:- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).