DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2018-18.146-161

Застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних наближень до розв’язку задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності

Максим Вікторович Сидоров

Анотація


Проблема математичного моделювання нелінійних стаціонарних процесів теплопровідності приводить до необхідності ефективного розв’язання крайових задач для еліптичного рівняння з коефіцієнтом, нелінійно залежним від температури. У роботі розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності зі степенево залежним від температури коефіцієнтом теплопровідності та нелінійною функцією потужності теплових джерел. Додатний розв’язок розглядуваної задачі запропоновано знаходити, використовуючи метод двобічних наближень, побудований на основі застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова. Для цього було зроблено заміну невідомої функції з метою отримати нелінійну задачу для рівняння з оператором Лапласа. Ця задача за допомогою квазіфункції Гріна-Рвачова була замінена еквівалентним інтегральним рівняння Урисона. Дослідження цього рівняння було проведено методами нелінійного аналізу у напівупорядкованих просторах, зокрема, використовуючи теорію гетеротонних операторів В. І. Опойцева. Інтегральний оператор, що входить у рівняння Урисона, розглянуто як гетеротонний оператор, що діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Це дозволило з’ясувати умови існування єдиного додатного розв’язку розглядуваної задачі та побудувати для його знаходження двобічний ітераційний процес. Цей процес розпочинається з кінців сильно інваріантного для гетеротонного оператора конусного відрізку і дозволяє будувати дві послідовності функцій, які наближають шуканий розв’язок знизу та зверху. Перевагою побудованого двобічного ітераційного процесу є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки наближеного розв’язку на кожній ітерації. Ефективність розробленого методу було проілюстровано обчислювальним експериментом у одиничному квадраті для випадку експоненціальної залежності потужності теплових джерел від температури. Результати експерименту наведено у вигляді графічної (лінії рівня та поверхня наближеного розв’язку) та числової (значення наближеного розв’язку у деяких точках області) інформації.


Повний текст:

PDF

Посилання


Колосов А. И. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Колосов, С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2012. — № 2. — С. 50–57.

Колосова С. В. О построении двусторонних приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2015. — № 3. — С. 107–120.

Колосова С. В. О построении итерационных методов решения краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2013. — № 1. — С. 35–42.

Колосова С. В. Применение итерационных методов к решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейностью / С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Радиоэлектроника и информатика. — 2013. — № 3 (62). — С. 28–31.

Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. — М. : Физматгиз, 1962. — 394 с.

Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хуродзе. — Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. — 246 с.

Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. — М. : Физматлит, 2001. — 576 с.

Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рвачев. — Киев : Наук. думка, 1982. — 552 с.

Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. — Москва : Наука, 1987. — 480 с.

Самарский А. А. Численные методы математической физики / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — 2-е изд. — Москва : Научный мир, 2003. — 316 с.

Сидоров М. В. Застосування методів функцій Гріна та квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних ітераційних процесів розв’язання нелінійних крайових задач / М. В. Сидоров // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2017. — № 2. — С. 250–259.

Сидоров М. В. Метод двобічних наближень розв’язання задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності / М. В. Сидоров // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. — 2017. — Вип. 16. — С. 157–167.

Afrouzi G. A. A Numerical Method for Finding Positive Solution of Dirichlet Problem with a Weight Function / G. A. Afrouzi, S. Mahdavi, Z. Naghizadeh // Journal of Information and Computing Science. — 2006. — Vol. 1. — № 3. — P. 168–172.

Guo D. Coupled fixed points of nonlinear operators with applications / D. Guo, V. Lakshmikantham // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1987. — Vol. 11. — № 5. — P. 623–632.

Chen G. Algorithms and visualization for solutions of nonlinear elliptic equations / G. Chen, J. Zhou, W.-M. Ni // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — Vol. 10. — № 7. — P. 1565–1612.

Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations / C. V. Pao. — New York : Plenum Press, 1992. — 794 p.