Математичне моделювання коливних процесів у смузі

Анотація

Крайові періодичні задачі для диференціальних рівнянь у частинних похідних, зокрема гіперболічних рівнянь, є складним та неоднозначним об’єктом дослідження. Крайові задачі з даними на всій границі області, а також задачі з нелокальними (в тому числі інтегральними) умовами для гіперболічних рівнянь в обмежених областях є, взагалі кажучи, умовно коректними. Деякі автори пов’язують розв’язність таких задач із проблемою малих знаменників та використовують при розв’язанні методи нелінійного функціонального аналізу, теорії неявних функцій, варіаційні методи. Інші ж при дослідженні крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку використовують аналітичні методи та у своїх роботах будують інтегральні оператори і розв’язок шукають у спеціально визначених просторах неперервно диференційованих функцій для конкретних випадків періодичності.

У роботі знайдено аналітичну формулу функції v (x, t), яка є розв’язком крайової 2π-періодичної за часовою змінною задачі у класі непарних функцій, для яких виконується умова f (t) = – f (π – t). Встановлені властивості даної функції та наведені оцінки розв’язку крайової 2π-періодичної за часовою змінною задачі.

Результати дослідження використовуються для математичного моделювання коливних процесів, що описуються гіперболічними рівняннями другого порядку.

На основі знайденої функції можна робити висновки про поведінку розв’язку незбуреного рівняння (ε = 0, ε — малий параметр) при дослідженні загального нелінійного гіперболічного рівняння другого порядку асимптотичними методами.