DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-19.98-104

Розв'язання задачі відновлення розривних функцій методом мінімакса

Юлія Ігорівна Першина, Валентина Олексіївна Пасічник

Анотація


Запропоновано метод, за допомогою якого можна наблизити функції однієї та двох змінних з розривами першого роду в точках чи на лініях розривними апроксимаційними сплайнами. У двовимірному випадку область визначення досліджуваної функції розбивається на прямокутні елементи. Для розв’язування цієї задачі в даній роботі будується розривний білінійний апроксимаційний сплайн, невідомі параметри якого знаходяться методом мінімакса, тобто будується такий сплайн, який на кожному інтервалі чи прямокутному елементі має найменше максимальне відхилення від наближуваної функції. Як експериментальні дані виступають односторонні границі досліджуваної функції у заданих вузлах. Запропонований метод дозволяє уникати явище Гіббса, яке виникає при наближенні розривних функцій класичними неперервними конструкціями. В роботі детально описаний чисельний експеримент, який підтверджує ефективність запропонованого методу. Автори вважають перспективним розвиток теорії наближення розривних функцій багатьох змінних розривними сплайнами та побудову математичних моделей розривних процесів на основі розробленої теорії, оскільки існує багато практично важливих наукових та технічних галузей, в яких об’єкти дослідження математично описуються розривними. В подальшому планується узагальнити цей метод на випадок, коли вузли розривного сплайну не співпадають з точками розриву досліджуваної функції. Запропонований метод можна буде використати для відновлення внутрішньої структури об’єктів, що мають різну щільність, в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях; в методах цифрової радіографії, обчислювальної томографії для визначення місця розташування і геометричних розмірів прихованих дефектів у контрольованому виробі, а також для контролю виробів у реальному масштабі часу його технологічного виготовлення

Повний текст:

PDF

Посилання


Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Анализ многокомпонентных распределенных систем и оптимальное управление : монография. Киев : Наук. думка, 2007. 703 с.

Агеев А. Л., Антонова Т. В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных. Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск, 2012. Т.15, № 1(49). С. 3–13.

Rossini M. Detecting discontinuities in two-dimensional signals sampled on a grid. Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apply Mathematics. 2007. Vol. 1, № 1. P. 1–13.

Першина Ю. І., Пасічник В. О. Чисельна реалізація методу виявлення точок розриву першого роду функції однієї змінної. Вісник ХНТУ. Херсон, 2017. № 3 (62), Т. 1. С. 80–84.

Першина Ю. І, Пасічник В. О. Наближення розривних функцій розривними сплайнами методом мінімакса. Вісник ХНТУ. Херсон, 2018. № 3(66), Т. 2. С. 82–87.

Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. Москва : Наука, 1972. 368 с.