DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-19.112-118

Гомоклінічний хаос та рівняння Нав’є–Стокса

Олександр Олексійович Покутний

Анотація


У роботі розглядається збурена система рівнянь Нав'є–Стокса, яка переписується у вигляді операторно-диферен­ціа­ль­но­го рівняння. З допомогою отриманих апріорних оцінок для відповідного оператора встановлено властивість експоненціальної дихотомії для породжуючого однорідного рівняння. Отримано необхідні та достатні умови існування обмежених на всій осі розв'язків породжуючого лінійного однорідного рівняння. Відповідна множина розв'язків представляється з допомогою побудованого оператора Гріна. Для нелінійної системи рівнянь Нав’є–Стокса введено операторне рівняння для породжуючих елементів. З допомогою операторного рівняння для породжуючих елементів отримано необхідну умову біфуркації розв’язків рівняння Нав’є–Стокса. Необхідно знайти такий обмежений на всій осі розв'язок системи рівнянь, який перетворюється у породжуючий обмежений розв'язок відповідного однорідного рівняння, коли . У роботі отримано достатню умову існування обмеженого на всій осі розв'язку системи рівнянь Нав’є–Стокса. Побудовано ітеративні алгоритмі типу Ньютона–Канторовіча для його знаходження. З допомогою представлення встановлено оцінки відповідних розв’язків у просторах інтегровних функцій

Повний текст:

PDF

Посилання


Baskakov A. G. Invertibility and the fredholm property of difference operators. Mathematical notes. 2000. 6 (67). P. 690–698.

Baskakov A. G. On differential and difference Fredholm operators. Reports of Mathematics. 2007. 2 (76). P. 669–672.

Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line. Nonlinear Oscillations. 1999. 1 (2). P. 3–10.

Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points. Journ. of Diff. Eq. 1984. 55. P. 225–256.

Levitan B. M., Gikov V. V. Almost periodic functions and differential equations. М.: MGU, 1978. 205 p.

Krein S. G. Linear differential equations in the Banach space. M. : Science, 1967. 464 p.

Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations. М. : World, 1985. 376 p.

Pokutnyi A. A. Bounded solutions of linear and weakly nonlinear differential equations in Banach space with unbounded linear part. Diff. Eq. 2012. 6(48). P. 803–813.

Moore E. H. On the Reciprocal of the General Algebraic Matrix (Abstract). Bull. Amer. Math. Soc. 1920. 26. P. 394–395.

Penrose R. A. Generalized Inverse for Matrices. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. 51. P. 406–413.

Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized Inverse Operators and Fredholm Boundary-Value Problems 2nd ed. Berlin/Boston : Walter De Gruyter GmbH, 2016. 296 p.