DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-20.5-12

Про обмеженість глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці

Сергій Миколайович Бак

Анотація


Стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує нескінченну систему лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Ця система представляє собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Цю систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача Коші для таких рівнянь у даному просторі. Раніше було доведено, що ця задача за певних умов має єдиний локальний і глобальний розв’язки. Локальна розв’язність випливає зі стандартних результатів для диференціальних рівнянь у банахових просторах. Основними умовами тут є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та неперервність за Коші нелінійності (яка визначається як похідна зовнішнього потенціалу системи осциляторів). Для встановлення глобальної розв’язності було використано подання даної системи у гамільтоновому вигляді. Нагадаємо, що з фізичної точки зору гамільтоніан представляє собою повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії. Основними умовами, крім згаданих вище, тут є недодатність оператора лінійної взаємодії між осциляторами та напівобмеженість знизу їх потенціалів. Однак, залишилось відкритим питання, чи є глобальний розв’язок обмеженим. У цій статті встановлено, що за тих самих умов існування глобального розв’язку, якщо оператор лінійної взаємодії недодатний, а зовнішній потенціал на нескінченності є нескінченно великим (рівномірно за обома просторовими змінними), або ж оператор лінійної взаємодії є від’ємно визначеним, то цей розв’язок обмежений для будь-яких початкових даних з даного простору послідовностей. Для доведення було використано той факт, що гамільтоніан системи на початкових даних зберігає стале значення.


Повний текст:

PDF

Посилання


Бак С. М. Iснування перiодичних за часом розв’язкiв системи осциляторiв на двовимiрнiй гратцi / С. М. Бак // Карпатські математичні публікації. — 2012. — Т. 4, № 2. — С. 175–196.

Бак С. М. Існування відокремлених біжучих хвиль для системи нелінійно зв’язаних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Український математичний журнал. — 2017. — Т. 69, №4. — С. 435–444.

Бак С. М. Існування гетероклінічних біжучих хвиль у системі осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 2014. — Т. 57, №3. — С. 45–52.

Бак С. М. Існування дозвукових періодичних біжучих хвиль в системі не-лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2014. — Вип. 10. — С. 17–23.

Бак С. М. Існування надзвукових періодичних біжучих хвиль в системі нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2015. — Вип. 12. — С. 5–12.

Бак С. М. Існування періодичних бiжучих хвиль в системі Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні студії. — 2012. — Т. 37, №1. — С. 76–88.

Бак С. М. Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2017. — Вип. 16. — С. 21-29.

Бак С. М. Існування стоячих хвиль для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуванню нелінійністю / С. М. Бак // Математичні студії. — 2010. — Т. 33, №1. — С. 78–84.

Бак С. М. Періодичні біжучі хвилі в дискретному рівнянні sin-Ґордона на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. — Вип. 9. — С. 5–10.

Бак С. М. Коректність задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів, розміщених на двовимірній решітці / С. М. Бак, О. О. Баранова, Ю. П. Білик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2010. — Вип. 4. — С. 18–24.

Бак С. М. Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці / С. М. Бак, Г. М. Ковтонюк, І. В. Печериця // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2018. — Вип. 18. — С. 5–13.

Бак С. М. Коректність задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів з кубічним потенціалом на двовимірній ґратці / С. М. Бак, К. Є. Рум’янцева // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2012. — Вип. 6. — С. 29–36.

Бак С. Н. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках / С. Н. Бак, А. А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 154–175.

Бак С. М. Існування та єдиність глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 3–9.

Bak S. The existence of heteroclinic traveling waves in the discrete sine-Gordon equation with nonlinear interaction on a 2D-lattice / S. Bak // Journal of mathe-matical physics, analysis, geometry. — 2018. — Vol. 14, № 1. — P. 16–26.

Bak S. M. Existence of heteroclinic traveling waves in a system of oscillators on a two-dimensional lattice / S. M. Bak // Journal of Mathematical Sciences, 2016. — Vol. 217, №2 (August). — P. 187–197.

Bak S. M. Existence of solitary traveling waves in a system of nonlinearly cou-pled oscillators on the 2D lattice / S. M. Bak // Ukrainian mathematical Journal. — 2017. — Vol. 4 (69). — P. 509–520.

Bak S. M., Kovtonyuk G. M. Existence of solitary traveling waves in Fermi-Pasta-Ulam system on 2D lattice / S. M. Bak, G. M. Kovtonyuk // Matematychni Studii. — 2018. — Vol. 50, No.1. — P. 75–87.

Bak S. Well-posedness of initial value problem for discrete nonlinear wave equa-tions / S. Bak, G. N’Guerekata, A. Pankov // Communications in Mathematical Analysis. — 2010. — Vol. 8, № 1. — Р. 79–86.

Feckan M. Traveling waves in Hamiltonian systems on 2D lattices with nearest neighbour interactions / M. Feckan, V. Rothos // Nonlinearity. — 2007. — № 20. — P. 319–341.

Friesecke G. Geometric solitary waves in a 2D math-spring lattice / G. Friesecke, K. Matthies // Discrete and continuous dynamical systems. — 2003. — Vol. 3, №1 (February). — P. 105–114.

Pacciani P. On localized solutions of discrete nonlinear Schrödinger equation: An exact result / P. Pacciani, V. V. Konotop, G. P. Menzala // Physica D. — 2005. — Vol. 204. — P. 122–133.

Pankov A. Global well-posedness for discrete non-linear Schrödinger equation / A. Pankov // Applicable Analysis. — 2010. — Vol. 89, № 9. — P. 1513–1521.

Srikanth P. On periodic motions of two-dimentional lattices / P. Srikanth // Functional analysis with current applications in science, technology and industry. — 1998. — Vol. 377. — P. 118–122.