Про обмеженість глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці

Анотація

Стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує нескінченну систему лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Ця система представляє собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Цю систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача Коші для таких рівнянь у даному просторі. Раніше було доведено, що ця задача за певних умов має єдиний локальний і глобальний розв’язки. Локальна розв’язність випливає зі стандартних результатів для диференціальних рівнянь у банахових просторах. Основними умовами тут є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та неперервність за Коші нелінійності (яка визначається як похідна зовнішнього потенціалу системи осциляторів). Для встановлення глобальної розв’язності було використано подання даної системи у гамільтоновому вигляді. Нагадаємо, що з фізичної точки зору гамільтоніан представляє собою повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії. Основними умовами, крім згаданих вище, тут є недодатність оператора лінійної взаємодії між осциляторами та напівобмеженість знизу їх потенціалів. Однак, залишилось відкритим питання, чи є глобальний розв’язок обмеженим. У цій статті встановлено, що за тих самих умов існування глобального розв’язку, якщо оператор лінійної взаємодії недодатний, а зовнішній потенціал на нескінченності є нескінченно великим (рівномірно за обома просторовими змінними), або ж оператор лінійної взаємодії є від’ємно визначеним, то цей розв’язок обмежений для будь-яких початкових даних з даного простору послідовностей. Для доведення було використано той факт, що гамільтоніан системи на початкових даних зберігає стале значення.