DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-20.13-25

Критерії екстремальної послідовності для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору

Уляна Василівна Гудима, Василь Олексійович Гнатюк

Анотація


Останнім часом значна увага приділяється дослідженню спеціальних класів екстремальних задач.

Важливий клас таких задач утворюють задачі теорії наближення функції.

Виявилось, що низка задач цієї теорії є частинними випадками задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору.

Загальний критерій екстремального елемента для цієї задачі, оснований на співвідношеннях двоїстості, встановлено М. П. Корнєйчуком та В. М. Тихомировим. Дещо відмінним від цього критерію є критерій колмогоровського типу.

Узагальненням задачі відшукання відстані від точки лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору є задача відшукання відстані між двома його опуклими множинами.

У праці [1] встановлені співвідношення двоїстості та критерії екстремального елемента для цієї задачі, основані на співвідношенні двоїстості.

Однак, множина екстремальних елементів для низки екстремальних задач є порожньою множиною. Для таких задач питання встановлення критеріїв екстремального елемента втрачає сенс.

Водночас будь-яка екстремальна задача , в тому числі і задача відшукання відстані між двома опуклими множинами, має екстремальну послідовність.

У статті для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору встановлені критерії екстремальної послідовності для цієї задачі, основані на співвідношенні двоїстості, та критерії екстремальної послідовності колмогоровського типу. Отримані результати конкретизовано на випадок задачі відшукання відстані між замкненими гіперплощинами лінійного нормованого простору.

Повний текст:

PDF

Посилання


Гудима У. В. Співвідношення двоїстості та критерії екстремальності еле-мента для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору / У. В. Гудима, В. О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2018. — Вип. 18. — С. 65–77.

Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 407 с.

Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций / В. К. Дзядык. — М. : Наука, 1977. — 510 с.

Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Корнейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с.

Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — Киев : Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. І. — 427 с.

Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — Киев : Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. ІІ. — 468 с.

Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений / В. М. Тихо-миров. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976. — 307 с.