DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-20.79-91

Розв'язання блочної системи з числовими елементами в середовищі MatLab

Ліда Михайлівна Семчишин, Ольга Богданівна Павелчак-Данилюк

Анотація


У роботі запропоновано новий підхід до блочної системи лінійних алгеб­раїчних рівнянь із числовими елементами. Розглянено метод розв’я­зування систем із деякими найхарактернішими способами заповнення. Розв’язок системи знаходимо  у вигляді відношення двох поліномів, а невідомі обчислюємо методом невизначених коефіцієнтів. Згрупувавши члени при однакових степенях і для визначення невідомих коефіцієнтів отримано систему, для розв’язування якої  використано  алгоритм схеми розрі­зання. Для цього матрицю системи  розділено на блоки. Розв’язування отриманих систем вимагало деяких проміжних матричних операцій.  Таким чином при повній реалізації алгоритму схеми розрізання для системи виконано  ряд арифметичних операцій. Показано  високу точність запропонованого методу розв’язання.

Для розв’язання блочної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з числовими елементами в середовищі MatLab написана і протестована функція ESSELS. Ця функція реалізує алгоритм розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом відсічених систем. Цей алгоритм дозволяє розв’язати системи рівнянь як у випадку симетричного заповнення (кількість піддіагоналей дорівнює кількості наддіагоналей), так і тоді, коли кількість піддіагоналей та наддігоналей матриці різна. Для порівняння із штатними програмами лінійної алгебри пакета MatLab  написано невелику програму. Вона реалізує процедуру розв'язання блочної системи лiнiйних алгебричних рiвнянь  з числовими елементами засобами MatLab.  Проведено результати порівняння в таблиці. Запропоновані алгоритми для даної тестової системи середньої розмірності мають суттєві переваги у порівнянні із стандартними функціями пакету MatLab. Протестовано алгоритм розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь з числовими елементами в середовищі MatLab. У роботі по­казано ефективність запропонованого алгоритму. Теоретичну та методологічну основу дослідження складають методи оптимізації та математичного  моделювання.

Запропонований алгоритм може ефективно використовуватися в системах комп'ютерної алгебри та для аналітично-числового розв'язування інженерних та прикладних задач.

Повний текст:

PDF

Посилання


Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы / В. В. Воеводин. — М. : Наука, 1976. — 312 с.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — Москва : Наука, 1967. — 324 с.

Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье. — М. : Мир, 1991. — 352 с.

Недашковський М. О. Обчислення з λ-матрицями / М. О. Недашковський, О. Я. Ковальчук. — К. : Наук. думка, 2007. — 294 с.

Семчишин Л. М. Розв’язання розріджених систем лінійних алгебраїчних рівнянь із блочними елементами / Л. М. Семчишин // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — Львів, 2007. — Вип. 6. — С. 128–135.

Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра / Е. Е. Тыртышников. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с.