Сумісне наближення (ψ, β) — інтегралів сумами Фейєра в метриці Lp

Анотація

Відомо, що довільній сумовній періодичній функції відповідає її ряд Фур’є. Тому природно її наближати тригонометричними многочленами , що є частинними сумами цього ряду, їх називають сумами Фур’є. Але інколи суми Фур’є даної функції дуже повільно збігаються до неї, а інколи і розбігаються (приклад неперервної функції із розбіжним в деяких точках рядом Фур’є був наведений Дюбуа-Реймондом у 1876 р.). Цей факт спонукав математиків шукати інші послідовності тригонометричних поліномів, які б збігалися до породжуючої їх функції, які б збігалися до неї рівномірно на всьому просторі. Зрозуміло, що найвдалішою в розумінні швидкості збіжності до функції є послідовність многочленів її найкращого наближення. Але, на жаль, оператор найкращого наближення не є лінійним. Це в великій мірі ускладнює побудову многочленів найкращого наближення, а, отже, їх використання.

Якщо розглядати лише лінійні методи підсумовування рядів Фур’є, то великий клас таких методів дає матричне підсумовування. Одним з цих методів є метод Фейєра, метод середніх арифметичних перших n сум Фур’є.

У цій статті знайдено асимптотичні рівності при n → ∞ для верхньої межі величини сумісного наближення сумами Фейєра порядку n функцій, що мають похідну в сенсі Степанця, у випадку досягнення насиченості в метриці простору сумовних в p-тому степені функцій. При цьому виділено головний член асимптотичного розкладу та вказано порядок залишкового члена.