DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5878.2019-20.92-100

Сумісне наближення (ψ, β) — інтегралів сумами Фейєра в метриці Lp

Viktor Sorych, Nina Sorych

Анотація


Відомо, що довільній сумовній періодичній функції відповідає її ряд Фур’є. Тому природно її наближати тригонометричними многочленами , що є частинними сумами цього ряду, їх називають сумами Фур’є. Але інколи суми Фур’є даної функції дуже повільно збігаються до неї, а інколи і розбігаються (приклад неперервної функції із розбіжним в деяких точках рядом Фур’є був наведений Дюбуа-Реймондом у 1876 р.). Цей факт спонукав математиків шукати інші послідовності тригонометричних поліномів, які б збігалися до породжуючої їх функції, які б збігалися до неї рівномірно на всьому просторі. Зрозуміло, що найвдалішою в розумінні швидкості збіжності до функції є послідовність многочленів її найкращого наближення. Але, на жаль, оператор найкращого наближення не є лінійним. Це в великій мірі ускладнює побудову многочленів найкращого наближення, а, отже, їх використання.

Якщо розглядати лише лінійні методи підсумовування рядів Фур’є, то великий клас таких методів дає матричне підсумовування. Одним з цих методів є метод Фейєра, метод середніх арифметичних перших n сум Фур’є.

У цій статті знайдено асимптотичні рівності при n → ∞ для верхньої межі величини сумісного наближення сумами Фейєра порядку n функцій, що мають похідну в сенсі Степанця, у випадку досягнення насиченості в метриці простору сумовних в p-тому степені функцій. При цьому виділено головний член асимптотичного розкладу та вказано порядок залишкового члена.

Повний текст:

PDF (English)

Посилання


Stepanets A. I. Methods of approximation theory : 2 p. / A. I. Stepanets // Works of In-te of Mathematics NAS of Ukraine. — 2002 — № 40. — 427 p.

Bushev D. N. Approximation of classes of continuous periodic functions by Zygmund’s sums / D. N. Bushev. — Kyiv, 1984. — 62 p. (Prepr. / AS USSR. In-te of Mathematics; 84.56).

Korneichuk N. P. Extreme problems of approximation theory / N. P. Korneichuk. — M. : Nauka, 1976. — 320 p.

Sorych N. M. Joint approximation of functions and their derivatives by Fejer’s sums / N. M. Sorych. — Kyiv, 1985. — P. 16–26 (Prepr. / AS USSR. In-te of Mathematics; 84.27).