Існування періодичних розв’язків в системі нелінійних осциляторів зі степеневими потенціалами на двовимірній ґратці

Анотація

Стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує динаміку нескінченної системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Рівняння руху цієї системи представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Останню систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача про існування періодичних розв’язків для таких систем зі степеневими потенціалами. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та додатність цього оператора. У цій статті показано, що періодичні розв’язки можна побудувати за допомогою методу умовної мінімізації. Для цього побудовано функціонал, критичні точки якого є шуканими періодичними розв’язками. Цей функціонал представлено у вигляді різниці квадратичної і неквадратичної частин. Далі розглянуто задачу умовної мінімізації квадратичної частини функціоналу за умови, що неквадратична частина стала. За допомогою методу множників Лагранжа встановлено, що періодичні розв’язки даної системи лінійно залежать від розв’язків розглянутої задачі умовної мінімізації, зокрема, коефіцієнт лінійної залежності виражається через множник Лагранжа. За допомогою дискретного варіанту принципу концентрованої компактності доведено, що розглянута задача умовної мінімізації має розв’я­зок, а отже, існують періодичні розв’язки вихідної системи. Зокрема, показано, що для довільної мінімізуючої послідовності квадратичної частини побудованого функціоналу виконується можливість «концентрація» принципу концентрованої компактності, що дозволило довести обмеженість цієї послідовності. Більше того, доведено, що для достатньо великих значень періодів ці розв’язки не є сталими.