Застосування колокаційно-ітеративного методу до нелінійних інтегро-функціональних рівнянь

Анотація

У статті досліджується питання застосування колокаційно-ітеративного методу [1, 3] до одного типу нелінійного інтегро-функціонального рівняння. Вказано умови, які гарантують існування єдиного розв’язку такого рівняння. Приведена основна схема методу та вказано умови, при виконанні яких цей метод буде збіжним. При обґрунтуванні методу використовується той факт, що вихідне нелінійне інтегро-функціональне рівняння можна звести до нелінійного інтегрального рівняння, ядра інтегральних операторів якого записуються в явному вигляді.

Також важливим моментом при обґрунтуванні є те, що колокаційно-ітеративний метод можна трактувати як частковий випадок проекційно-ітеративного методу. Застосування останнього до різних типів нелінійних операторних рівнянь систематично досліджувалось у роботах А. Ю. Лучки та його учнів.

Суттєвою особливістю досліджуваного у роботі методу є те, що на кожному кроці ітерації потрібно розв’язувати системи нелінійних алгебраїчних чи трансцендентних рівнянь, що є основною технічною складністю цього процесу. Але задача відшукання розв’язків таких систем є простішою, ніж розв’язування вихідного нелінійного інтегро-функціо­наль­ного рівняння.

У роботі показано, що метод послідовних наближень та метод колокації розв’язання вихідного нелінійного рівняння можна розглядати як часткові випадки колокаційно-іте­ра­тивного методу.

Крім основного алгоритму методу приведено його обчислювальну схему, яка є більш зручною для безпосередніх обрахунків ніж сам метод і яку при необхідності можна успішно реалізувати на комп’ютері, створивши для цього відповідну програму.