Умови існування екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома множинами, єдиності екстремального елемента еквівалентної їй задачі, властивості функції відстані

Анотація

Відомо, що одним із напрямів математики, який найбільш інтенсивно розвивається в даний час, є теорія наближень, у тому числі теорія наближень функцій.

Початком сучасної теорії наближень прийнято вважати працю П. Л. Чебишова 1857 року, присвячену поліномам, що найменше відхиляються від нуля.

У цій праці П. Л. Чебишов вперше ввів поняття найкращого наближення.

Згодом було досліджено низку подібних задач, в яких окремі функції наближались поліномами, тригонометричними поліномами, раціональними функціями тощо у різних метриках.

Виявилось, що такі задачі вкладаються у схему задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору.

 Загальні теореми існування, єдиності екстремального елемента для задачі відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору, властивості функціонала найкращого наближення, теореми двоїстості та критерії екстремального елемента для цієї задачі встановлено, зокрема, М. П. Корнєйчуком у праці [1].

Зрозуміло, що задача відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору є частковим випадком задачі відшукання відстані між двома множинами лінійного нормованого простору, що визначається як інфімум норм різниць всеможливих елементів цих множин (див., наприклад, [2, 3]).

У цій статті встановлено умови існування екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома множинами лінійного нормованого простору, умови єдиності екстремального елемента для еквівалентної їй задачі, властивості функції відстані та одержано формули для відшукання екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома замкненими кулями цього просторуУ працях [4, 5] доведені співвідношення двоїстості, критерії екстремальності елемента та послідовності для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору.