Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона із насичуваними нелінійностями

Анотація

Стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченних ланцюгів лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Такі рівняння представляють собою нескінченні системи звичайних диференціальних рівнянь. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваними нелінійностями. Для таких рівнянь одержано результати про існування розв’язків у вигляді стоячих хвиль. Після підстановки в дану систему анзаца у вигляді стоячої хвилі одержуться система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Вивчаються два види розв’язків: періодичні (з періодом k) і локалізовані (збігаються до нуля на нескінченності). Дані рівняння мають варіаційну структуру. Тому показано, що k-періодичні і локалізовані розв’язки можна побудувати як критичні точки двох деяких функціоналів у відповідних просторах двохсторонніх послідовностей. Далі розглянуто многовиди Нехарі для відповідних варіаційних задач. Ці многовиди містять нетривіальні критичні точки даних функціоналів. Показано, що многовиди Нехарі непорожні і замкнені підмноговиди відповідних просторів двохсторонніх послідовностей. Крім того, розглянуто відповідні задачі мінімізації даних функціоналів. Показано, що на многовиді Нехарі для першого функціоналу відповідна задача мінімізації за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рівняння має нетривіальні k-періодичні розв’язки. У випадку локалізованих розв’язків довести, що відповідна задача мінімізації має розв’язок на відповідному многовиді Нехарі складно. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу, який відповідає локалізованим розв’язкам, будуються за допомогою граничного переходу (при періоді k прямуючому до нескінченності) в критичних точках функціоналу, який відповідає k-пе­ріо­дич­ним розв’язкам. Одержані локалізовані розв’язки і є розв’язками відповідної задачі мінімізації.