Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона із насичуваними нелінійностями

Автор(и)

  • Сергій Бак Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.32626/2308-5878.2021-22.5-19

Анотація

Стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченних ланцюгів лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Такі рівняння представляють собою нескінченні системи звичайних диференціальних рівнянь. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваними нелінійностями. Для таких рівнянь одержано результати про існування розв’язків у вигляді стоячих хвиль. Після підстановки в дану систему анзаца у вигляді стоячої хвилі одержуться система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Вивчаються два види розв’язків: періодичні (з періодом k) і локалізовані (збігаються до нуля на нескінченності). Дані рівняння мають варіаційну структуру. Тому показано, що k-періодичні і локалізовані розв’язки можна побудувати як критичні точки двох деяких функціоналів у відповідних просторах двохсторонніх послідовностей. Далі розглянуто многовиди Нехарі для відповідних варіаційних задач. Ці многовиди містять нетривіальні критичні точки даних функціоналів. Показано, що многовиди Нехарі непорожні і замкнені підмноговиди відповідних просторів двохсторонніх послідовностей. Крім того, розглянуто відповідні задачі мінімізації даних функціоналів. Показано, що на многовиді Нехарі для першого функціоналу відповідна задача мінімізації за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рівняння має нетривіальні k-періодичні розв’язки. У випадку локалізованих розв’язків довести, що відповідна задача мінімізації має розв’язок на відповідному многовиді Нехарі складно. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу, який відповідає локалізованим розв’язкам, будуються за допомогою граничного переходу (при періоді k прямуючому до нескінченності) в критичних точках функціоналу, який відповідає k-пе­ріо­дич­ним розв’язкам. Одержані локалізовані розв’язки і є розв’язками відповідної задачі мінімізації.

Посилання

Bak S. M. Peridoc traveling waves in chains of oscillators. Communications in Mathematical Analysis. 2007. Vol. 3, № 1. Р. 19-26.

Bak S., Kovtonyuk G. Existence of standing waves in DNLS with saturable nonlinearity on 2D lattice. Communications in Mathematical Analysis. 2019. Vol. 22, № 2. Р. 18-34.

Drabek P., Milota J. Methods of nonlinear analysis. Applications to differential equations. Basel: Birkhäuser, 2007. 568 p.

Friesecke G., Wattis J. A. D. Existence theorem for solitary waves on lattices. Commun. Math. Phys. 1994. Vol. 161. P. 391-418.

Ghimenti M., Le Coz S., Squassina M. On the stability of standing waves of Klein-Gordon equations in a semiclassical regime. Discr. Cont. Dyn. Sys. 2013. Vol. 33, № 6. P. 2389-2401.

Iooss G., Kirschgässner K. Traveling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators. Commun. Math. Phys. 2000. Vol. 211. P. 439-464.

Iooss G., Pelinovsky D. Normal form for travelling kinks in discrete Klein-Gordon lattices. Physica D. 2006. Vol. 216. P. 327-345.

Kreiner C. F., Zimmer J. Heteroclinic travelling waves for the lattice sine–Gordon equation with linear pair interaction. Discrete and continuous dynamical systems. 2009. Vol. 25, № 3 (November). P. 915-931.

Morgante A. M., Johansson M., Kopidakis G., Aubry S. Standing waves in 1D nonlinear lattices. Nonlinear and Disorder: Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers. 2001. P. 205-211.

Pankov A. Gap solitons in periodic discrete NLS equations. Nonlinearity. 2006. Vol. 19. P. 27-40.

Pankov A. Gap solitons in periodic discrete nonlinear Shrödinger equation, II: Generalized Nehari manifold approach. Discr. Cont. Dyn. Syst. A. 2007. Vol. 19, № 2. P. 419-430.

Pankov A., Rothos V. Periodic and decaying solutions in DNLS with saturable nonlinearity. Proc. Royal Society A. 2008. Vol. 464. P. 3219-3236.

Бак С. М. Біжучі хвилі в ланцюгах осциляторів. Математичні студії. 2006. Т. 26, № 2. С. 140-153.

Бак С. М. Існування гетероклінічних біжучих хвиль у системі осциляторів на двовимірній ґратці. Математичні методи та фізико-механічні поля. 2014. Т. 57, №3. С. 45-52.

Бак С. М. Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць. 2017. Вип. 16. С. 21-29.

Бак С. М. Існування стоячих хвиль для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю. Математичні студії. 2010. Т. 33, №1. С. 78-84.

Бак С. М. Періодичні біжучі хвилі в дискретному рівнянні sin-Ґордона на двовимірній ґратці. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць, 2013. Вип. 9. С. 5-10.

Бак С. Н., Панков А. А. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках. Український математичний вісник. 2010. Т. 7, № 2. С. 154-175.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-10-19