Математичні моделі для задачі відновлення функції розподілу теплових джерел

Анотація

Стаття присвячена проблемі отримання інтегральних математичних моделей теплових об’єктів з вихідного рівняння теплопровідності, що подано у диференціальній формі. Розглядається випадок оберненої задачі для рівняння теплопровідності, яка є некоректною. При розв’язуванні як прямих, так і обернених задач динаміки з використанням обчислювальних методів важливе значення має вибір форми математичного опису моделі. Навіть моделі, які отримані з вихідних моделей в результаті еквівалентних перетворень при числовій реалізації видають нееквівалентні розв’язки. Тому для розв’язування обернених задач динаміки доцільно використовувати інтегральні математичні моделі, які володіють високою обчислювальною стійкістю. В інтегральній постановці такі некоректні обернені задачі успішно розв’язуються за допомогою методів регуляризації. У статті розглянуто два варіанти оберненої задачі. В першому варіанті зворотна задача розглядається в постановці Діріхле, а в другому варіанті розглядається задача Неймана. В обох варіантах зворотні задачі, що подані в диференціальній формі шляхом еквівалентних перетворень подаються у вигляді інтегральних рівнянь першого роду. Для отриманих інтегральних моделей показано, що розв’язки рівнянь єдині. Перевагою отриманих інтегральних моделей є їх відносна простота і широкий спектр розроблених методів їх числової реалізації на основі застосування різних квадратурних формул. Крім того, ядра отриманих інтегральних рівнянь можуть фізично інтерпретуватися як імпульсні перехідні характеристики теплопровідного середовища. Це дає змогу їх ідентифікації за перехідними характеристиками теплопровідного середовища, які можна отримати експериментальним шляхом.